Номер 1208 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1208.
Число а составляет 75% числа b и 40% числа с. Число с на 42 больше числа b. Найдите числа а и b.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте числа буквами и переведите словесные условия в уравнения. Используйте то, что число а одновременно выражается через b и через c — приравняйте эти выражения.
Решение по шагам
Обозначим числа переменными и составим уравнения по условиям задачи.
Дано:
- Число а составляет 75% числа b
- Число а составляет 40% числа с
- Число с на 42 больше числа b
Шаг 1: Запишем условия в виде уравнений.
Из первого условия: a = 0,75b
Из второго условия: a = 0,4c
Из третьего условия: c = b + 42
Шаг 2: Приравняем выражения для а.
Поскольку a = 0,75b и a = 0,4c, то: 0,75b = 0,4c
Шаг 3: Подставим c = b + 42 в это уравнение.
0,75b = 0,4(b + 42)
Шаг 4: Раскроем скобки.
0,75b = 0,4b + 16,8
Шаг 5: Перенесём 0,4b влево.
0,75b - 0,4b = 16,8
0,35b = 16,8
Шаг 6: Найдём b.
b = 16,8 : 0,35
b = 1680 : 35 = 48
Шаг 7: Найдём а.
a = 0,75b = 0,75 × 48 = 36
Шаг 8: Проверим по третьему условию.
c = b + 42 = 48 + 42 = 90
Проверка:
- a = 75% от b: 36 = 0,75 × 48 = 36 ✓
- a = 40% от c: 36 = 0,4 × 90 = 36 ✓
- c на 42 больше b: 90 = 48 + 42 ✓
Редакция 2019
№ 1208.
Разложите на множители многочлен:
а) х8 + х4 − 2; б) а5 − а2 − а − 1; в) n4 + 4; г) n4 + n2 + 1.
💡 Подсказка (без ответа)
В заданиях а и г используй метод выделения полного квадрата — прибавь и вычти нужные члены, чтобы получить разность квадратов. В б и в сначала переобозначь переменную или сгруппируй члены для упрощения.
Решение по шагам
Разложим каждый многочлен на множители пошагово.
а) х8 + х4 − 2
Обозначим х4 = t, тогда х8 = t².
Получим: t² + t − 2
Разложим это квадратное выражение: t² + t − 2 = (t + 2)(t − 1)
Подставим обратно t = х4: (х4 + 2)(х4 − 1)
Х4 − 1 можно разложить дальше как разность квадратов: х4 − 1 = (х2)² − 1² = (х2 − 1)(х2 + 1) = (х − 1)(х + 1)(х2 + 1)
Итоговый ответ: (х4 + 2)(х − 1)(х + 1)(х2 + 1)
б) а5 − а2 − а − 1
Сгруппируем члены: (а5 − а) − (а2 + 1) = а(а4 − 1) − (а2 + 1)
Разложим а4 − 1: a4 − 1 = (а2 − 1)(а2 + 1) = (а − 1)(а + 1)(а2 + 1)
Получим: а(а − 1)(а + 1)(а2 + 1) − (а2 + 1) = (а2 + 1)[а(а − 1)(а + 1) − 1]
Упростим скобки: а(а − 1)(а + 1) = а(а2 − 1) = а3 − а
Получим: (а2 + 1)(а3 − а − 1)
Итоговый ответ: (а2 + 1)(а3 − а − 1)
в) n4 + 4
Прибавим и вычтем 4n²: n4 + 4n² + 4 − 4n² = (n2 + 2)² − (2n)²
Это разность квадратов: (n2 + 2 − 2n)(n2 + 2 + 2n) = (n2 − 2n + 2)(n2 + 2n + 2)
Итоговый ответ: (n2 − 2n + 2)(n2 + 2n + 2)
г) n4 + n2 + 1
Прибавим и вычтем n²: n4 + 2n² + 1 − n² = (n2 + 1)² − n²
Это разность квадратов: (n2 + 1 − n)(n2 + 1 + n) = (n2 − n + 1)(n2 + n + 1)
Итоговый ответ: (n2 − n + 1)(n2 + n + 1)