Номер 1207 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1207.
Число а составляет 80% числа b, а число с составляет 140% числа b. Найдите числа а, b и с, если число с больше а на 72.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь число b переменной. Выразй через b числа а (80% от b) и с (140% от b). Составь уравнение, используя условие, что с больше а на 72.
Решение по шагам
Обозначим число b через переменную. Тогда выразим а и с через b.
Шаг 1. Выражаем а через b. Число а составляет 80% числа b: a = 0,80 · b = 0,8b
Шаг 2. Выражаем с через b. Число с составляет 140% числа b: c = 1,40 · b = 1,4b
Шаг 3. Составляем уравнение. По условию число с больше а на 72: c - a = 72
Шаг 4. Подставляем выражения а и с в уравнение. 1,4b - 0,8b = 72
Шаг 5. Упрощаем левую часть. 0,6b = 72
Шаг 6. Находим b. b = 72 : 0,6 b = 720 : 6 b = 120
Шаг 7. Находим а. a = 0,8 · 120 = 96
Шаг 8. Находим с. c = 1,4 · 120 = 168
Шаг 9. Проверяем ответ. Число а составляет 80% числа b: 96 = 0,8 · 120 ✓ Число с составляет 140% числа b: 168 = 1,4 · 120 ✓ Число с больше а на 72: 168 - 96 = 72 ✓
Редакция 2019
№ 1207.
Если х ≠ 0 или у ≠ 0, то значение выражения 15х2 − 18ху + 15у2 положительно. Докажите это.
💡 Подсказка (без ответа)
Вынесите общий множитель 3 и попробуйте представить оставшееся выражение как сумму полных квадратов. Подумайте, как сгруппировать члены, чтобы выделить (2х − у)² и (х − у)².
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение 15х² − 18ху + 15у² > 0 при условии, что х ≠ 0 или у ≠ 0.
Шаг 1. Вынесем общий множитель 3:
15х² − 18ху + 15у² = 3(5х² − 6ху + 5у²)
Так как 3 > 0, нужно доказать, что 5х² − 6ху + 5у² > 0.
Шаг 2. Преобразуем выражение в скобках:
Попробуем выделить полный квадрат. Запишем:
5х² − 6ху + 5у² = 4х² + х² − 6ху + 5у²
Шаг 3. Перегруппируем:
= 4х² − 4ху + у² + х² − 2ху + 4у²
Шаг 4. Выделим полные квадраты:
= (2х)² − 2·2х·у + у² + х² − 2ху + 4у²
= (2х − у)² + (х² − 2ху + у²) + 3у²
= (2х − у)² + (х − у)² + 3у²
Шаг 5. Анализируем сумму:
Получили сумму трёх квадратов: (2х − у)² + (х − у)² + 3у²
Это сумма неотрицательных чисел. Каждый квадрат ≥ 0.
Эта сумма равна нулю только если одновременно:
- (2х − у)² = 0 → 2х = у
- (х − у)² = 0 → х = у
- 3у² = 0 → у = 0
Из третьего условия: у = 0
Из второго: х = 0
Но по условию задачи х ≠ 0 или у ≠ 0 (то есть они не оба нулевые одновременно).
Вывод: сумма квадратов не может равняться нулю, поэтому 5х² − 6ху + 5у² > 0.
Следовательно, 15х² − 18ху + 15у² = 3(5х² − 6ху + 5у²) > 0. ✓