Номер 1206 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Используй формулу суммы кубов: 1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)². Подставь n = 99 и покажи, что получившееся число делится на 100.

Нужно доказать, что сумма кубов от 1 до 99 делится на 100.

Шаг 1. Вспомним формулу суммы кубов. Есть полезная формула: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)²

Это значит, что сумма кубов равна квадрату суммы первых n натуральных чисел.

Шаг 2. Применим формулу для n = 99. 1³ + 2³ + ... + 99³ = (99 × 100 / 2)²

Шаг 3. Упростим выражение в скобках. 99 × 100 / 2 = 9900 / 2 = 4950

Шаг 4. Возведём в квадрат. (4950)² = 4950 × 4950

Шаг 5. Проверим делимость на 100. 4950 = 49,5 × 100 = 4950 Остаток от деления 4950 на 100 равен 50.

Шаг 6. Найдём остаток от деления (4950)² на 100. (4950)² = (4950)²

Заметим, что 4950 = 100 × 49 + 50

Тогда: 4950² = (100 × 49 + 50)² = (100 × 49)² + 2 × (100 × 49) × 50 + 50²

Первые два слагаемых делятся на 100. 50² = 2500 = 25 × 100 — тоже делится на 100!

Шаг 7. Вывод. Сумма всех слагаемых делится на 100, значит, вся сумма 1³ + 2³ + ... + 99³ делится на 100. ✓

Подумай, как представить число 2 в виде суммы двух квадратов. Вспомни, что 2 = 1² + 1². Затем используй свойство: произведение (a² + b²)(c² + d²) можно разложить по специальной формуле.

Нужно представить 2х² + 2у² в виде суммы двух квадратов, то есть в виде a² + b².

Шаг 1. Вынесем общий множитель 2: 2х² + 2у² = 2(х² + у²)

Шаг 2. Заметим, что х² + у² уже является суммой двух квадратов.

Шаг 3. Теперь нужно представить коэффициент 2 как сумму двух квадратов: 2 = 1² + 1²

Шаг 4. Используем формулу произведения сумм квадратов: (a² + b²)(c² + d²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²

Шаг 5. Применим эту формулу: (1² + 1²)(х² + у²) = (1·х - 1·у)² + (1·у + 1·х)² = (х - у)² + (х + у)²

Шаг 6. Проверим: (х - у)² + (х + у)² = х² - 2ху + у² + х² + 2ху + у² = 2х² + 2у² ✓