Номер 1197 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1197.
Написали два числа. Если первое число увеличить на 30%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на 10%, а второе - на 20%, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь первое число как x, второе как y. Составь два уравнения по условиям задачи: одно для увеличения-уменьшения, другое для другого изменения. Помни: 30% от числа = 0,3 × число. Реши систему двух уравнений.
Решение по шагам
Обозначим первое число как x, второе число как y.
Перевод условий в уравнения:
Первое число увеличить на 30%, второе уменьшить на 10%, сумма увеличится на 6: (x + 0,3x) + (y - 0,1y) = x + y + 6 1,3x + 0,9y = x + y + 6 1,3x - x + 0,9y - y = 6 0,3x - 0,1y = 6 Умножим на 10: 3x - y = 60
Первое число уменьшить на 10%, второе на 20%, сумма уменьшится на 16: (x - 0,1x) + (y - 0,2y) = x + y - 16 0,9x + 0,8y = x + y - 16 0,9x - x + 0,8y - y = -16 -0,1x - 0,2y = -16 Умножим на 10: -x - 2y = -160 Или: x + 2y = 160
Решаем систему уравнений: 3x - y = 60 ... (1) x + 2y = 160 ... (2)
Из уравнения (1): y = 3x - 60
Подставляем в уравнение (2): x + 2(3x - 60) = 160 x + 6x - 120 = 160 7x = 280 x = 40
Находим y: y = 3·40 - 60 = 120 - 60 = 60
Проверка:
- Первое условие: (40 + 12) + (60 - 6) = 52 + 54 = 106; 40 + 60 + 6 = 106 ✓
- Второе условие: (40 - 4) + (60 - 12) = 36 + 48 = 84; 40 + 60 - 16 = 84 ✓
Редакция 2019
№ 1197.
В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь двузначное число как 10a + b. Подумай, какую цифру можно зачеркнуть: цифру десятков или цифру единиц. Составь уравнение, используя условие, что новое число в 31 раз меньше.
Решение по шагам
Обозначим двузначное число как 10a + b, где a — цифра десятков, b — цифра единиц (a ≠ 0, так как число двузначное).
Когда зачеркнули одну цифру, получилось либо a, либо b (однозначные числа).
По условию новое число в 31 раз меньше исходного.
Случай 1: Зачеркнули цифру единиц (получилось число a). Тогда: 10a + b = 31a Отсюда: b = 31a - 10a = 21a
Но b — это цифра (от 0 до 9), а 21a ≥ 21. Это невозможно.
Случай 2: Зачеркнули цифру десятков (получилось число b). Тогда: 10a + b = 31b Отсюда: 10a = 31b - b = 30b Получаем: a = 3b
Так как a и b — цифры, причём a ≠ 0 и a ≤ 9:
- Если b = 1, то a = 3. Число: 31
- Если b = 2, то a = 6. Число: 62
- Если b = 3, то a = 9. Число: 93
- Если b ≥ 4, то a ≥ 12, что невозможно для цифры.
Проверим каждое:
- Число 31: зачеркнули 3, осталось 1. 31 ÷ 1 = 31 ✓
- Число 62: зачеркнули 6, осталось 2. 62 ÷ 2 = 31 ✓
- Число 93: зачеркнули 9, осталось 3. 93 ÷ 3 = 31 ✓
Все три варианта подходят!