Номер 1181 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1181.
Укажите какое-либо значение k, при котором система
имеет единственное решение.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, когда две прямые параллельны — это когда их коэффициенты пропорциональны. Найди, при каком k прямые будут параллельны, а потом укажи любое другое значение k.
Решение по шагам
Система двух линейных уравнений имеет единственное решение, когда графики этих уравнений — это две непараллельные прямые (то есть они пересекаются в одной точке).
Две прямые параллельны, если у них одинаковые коэффициенты при переменных (одинаковый наклон). Это происходит, когда коэффициенты пропорциональны.
Для системы вида: 3x + 2y = 5 kx + 4y = 10
Прямые параллельны, если: 3/k = 2/4 3/k = 1/2 k = 6
Следовательно, прямые НЕ параллельны и система имеет единственное решение при любом k, КРОМЕ k = 6.
Выбираем какое-либо значение, например: k = 1, k = 2, k = 5 или k = 10 — любое, кроме 6.
Проверим k = 2: 3x + 2y = 5 2x + 4y = 10
Это действительно две непараллельные прямые — система имеет единственное решение.
Редакция 2019
№ 1181.
Написали два числа. Если первое число увеличится на 30%, а второе уменьшится на 10%, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшиться на 10%, а второе – на 20%, то их сумма уменьшиться на 16. Какие числа были написаны?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь первое число через х, второе через у. Составь два уравнения по двум условиям задачи: в первом учти, что первое число увеличилось на 30% (становится 1,3х), а второе уменьшилось на 10% (становится 0,9у). Во втором уравнении первое число уменьшилось на 10%, второе на 20%.
Решение по шагам
Обозначим первое число как х, второе число как у.
Составим уравнения по условиям задачи.
Условие 1: первое число увеличится на 30%, второе уменьшится на 10%, сумма увеличится на 6. Первое число становится: х + 0,3х = 1,3х Второе число становится: у - 0,1у = 0,9у Новая сумма: 1,3х + 0,9у Относитель к исходной сумме (х + у): 1,3х + 0,9у = х + у + 6
Упростим: 1,3х + 0,9у - х - у = 6 0,3х - 0,1у = 6 Умножим на 10: 3х - у = 60 ... (уравнение 1)
Условие 2: первое число уменьшится на 10%, второе уменьшится на 20%, сумма уменьшится на 16. Первое число становится: х - 0,1х = 0,9х Второе число становится: у - 0,2у = 0,8у Новая сумма: 0,9х + 0,8у Относительно к исходной сумме: 0,9х + 0,8у = х + у - 16
Упростим: 0,9х + 0,8у - х - у = -16 -0,1х - 0,2у = -16 Умножим на -10: х + 2у = 160 ... (уравнение 2)
Решаем систему: 3х - у = 60 х + 2у = 160
Из уравнения 1: у = 3х - 60 Подставим в уравнение 2: х + 2(3х - 60) = 160 х + 6х - 120 = 160 7х = 280 х = 40
Найдём у: у = 3 × 40 - 60 = 120 - 60 = 60
Проверка: Условие 1: 1,3 × 40 + 0,9 × 60 = 52 + 54 = 106 Исходная сумма: 40 + 60 = 100 Разница: 106 - 100 = 6 ✓
Условие 2: 0,9 × 40 + 0,8 × 60 = 36 + 48 = 84 Разница: 84 - 100 = -16 ✓