Номер 1180 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1180.
(Для работы в парах.) Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением 10х + 5у = 1 составило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.
1) Выполните совместно задание а) и решите составленную систему.
2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто - задание в), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, когда две прямые пересекаются, параллельны или совпадают. Для одного решения подбери уравнение с другими коэффициентами, для бесконечно много — умножь исходное на число, для отсутствия решений — возьми пропорциональные коэффициенты, но другой свободный член.
Решение по шагам
Задание 1180: Подбор уравнений для системы
Напомним:
- Система имеет одно решение, если прямые пересекаются (коэффициенты при x и y не пропорциональны)
- Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают (уравнения одинаковые или пропорциональные)
- Система не имеет решений, если прямые параллельны (коэффициенты пропорциональны, но свободные члены — нет)
Дано уравнение: 10x + 5y = 1
а) Система с одним решением:
Подберём уравнение, где коэффициенты не пропорциональны исходному. Выберем: 2x + y = 3
Система: 10x + 5y = 1 2x + y = 3
Решение способом подстановки: Из второго уравнения: y = 3 - 2x
Подставим в первое: 10x + 5(3 - 2x) = 1 10x + 15 - 10x = 1 15 = 1
Это неверно! Значит, эти прямые параллельны.
Выберем другое: x + y = 2
Система: 10x + 5y = 1 x + y = 2
Из второго: y = 2 - x Подставим в первое: 10x + 5(2 - x) = 1 10x + 10 - 5x = 1 5x = -9 x = -1,8
y = 2 - (-1,8) = 3,8
Ответ: x = -1,8; y = 3,8 ✓ (одно решение)
б) Система с бесконечно много решений:
Уравнение должно быть пропорционально исходному. Умножим исходное на любое число, например на 2: 20x + 10y = 2
Или на 0,5: 5x + 2,5y = 0,5
Выберем: 20x + 10y = 2 Это то же самое, что 10x + 5y = 1
Ответ: бесконечно много решений ✓
в) Система без решений:
Коэффициенты должны быть пропорциональны, но свободный член — нет. Выберем: 20x + 10y = 5 (коэффициенты как в б), но свободный член другой)
Проверка: 10x + 5y = 1 |×2 20x + 10y = 2
Но у нас 20x + 10y = 5, что противоречит. Система не имеет решений ✓
Или проще: 10x + 5y = 2
Проверка: коэффициенты совпадают (пропорциональны с коэффициентом 1), но 1 ≠ 2. Система несовместна ✓
Редакция 2019
№ 1180.
Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 90 см2. Если же длину прямоугольника увеличить на 5см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 20 см2. Найдите стороны прямоугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Введи переменные для сторон прямоугольника (a и b). Для каждого условия про увеличение сторон составь уравнение, используя формулу площади прямоугольника. Раскрывай скобки аккуратно и упрощай.
Решение по шагам
Обозначим стороны прямоугольника: длина = a см, ширина = b см.
Составим два уравнения по условиям задачи.
Условие 1: Каждую сторону увеличить на 3 см, площадь увеличится на 90 см².
Исходная площадь: S₁ = ab Новая площадь: S₂ = (a + 3)(b + 3)
По условию: (a + 3)(b + 3) - ab = 90
Раскроем скобки: ab + 3a + 3b + 9 - ab = 90 3a + 3b + 9 = 90 3a + 3b = 81 a + b = 27 ... (1)
Условие 2: Длину увеличить на 5 см, ширину уменьшить на 2 см, площадь увеличится на 20 см².
Новая площадь: S₃ = (a + 5)(b - 2)
По условию: (a + 5)(b - 2) - ab = 20
Раскроем скобки: ab - 2a + 5b - 10 - ab = 20 -2a + 5b - 10 = 20 -2a + 5b = 30 ... (2)
Решаем систему уравнений:
Из уравнения (1): a = 27 - b
Подставим в уравнение (2): -2(27 - b) + 5b = 30 -54 + 2b + 5b = 30 7b = 84 b = 12 см
Тогда: a = 27 - 12 = 15 см
Проверка:
Условие 1: (15 + 3)(12 + 3) - 15·12 = 18·15 - 180 = 270 - 180 = 90 ✓
Условие 2: (15 + 5)(12 - 2) - 15·12 = 20·10 - 180 = 200 - 180 = 20 ✓