Номер 1143 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1143.
Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой y = -x² - 6x - 11, расположены в нижней полуплоскости.
💡 Подсказка (без ответа)
Выделите полный квадрат в выражении -x² - 6x - 11. Для этого вынесите минус за скобки, а затем преобразуйте выражение в скобках в вид (x + a)².
Решение по шагам
Нужно доказать, что для всех значений x значение y всегда отрицательное (y < 0). Это значит, что график функции никогда не пересекает ось x и всегда находится ниже неё.
Преобразуем формулу функции y = -x² - 6x - 11, выделив полный квадрат:
Вынесем минус из первых двух слагаемых: y = -(x² + 6x) - 11
Выделим полный квадрат внутри скобок. Для этого возьмём половину коэффициента при x (это 6/2 = 3) и возведём в квадрат (это 3² = 9): y = -(x² + 6x + 9 - 9) - 11
Разделим на две части: y = -(x² + 6x + 9) + 9 - 11
Заметим, что x² + 6x + 9 = (x + 3)²: y = -(x + 3)² + 9 - 11
Упростим: y = -(x + 3)² - 2
Теперь анализируем полученный вид:
- Выражение (x + 3)² всегда больше или равно нулю для любого x
- Значит, -(x + 3)² всегда меньше или равно нулю
- Поэтому -(x + 3)² - 2 всегда меньше или равно -2
Отсюда следует: y ≤ -2 < 0
Это означает, что y всегда отрицательно, то есть все точки графика находятся в нижней полуплоскости (ниже оси x). Что и требовалось доказать.
Редакция 2019
№ 1143.
Трёхзначное число начинается с цифры 9. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится трёхзначное число, которое меньше данного на 576. Найдите данное трёхзначное число.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь исходное число как 9ab (где a и b — цифры). Запиши его в виде: 900 + 10a + b. После перестановки цифры 9 в конец получится число ab9, которое равно 100a + 10b + 9. По условию первое число больше второго на 576 — составь уравнение и реши его.
Решение по шагам
Обозначим трёхзначное число, которое начинается с цифры 9.
Пусть исходное число имеет вид: 9ab, где a и b — две остальные цифры (от 0 до 9).
Это число можно записать как: 900 + 10a + b
После перестановки цифры 9 на последнее место получается число: ab9
Это число можно записать как: 100a + 10b + 9
По условию задачи, новое число меньше исходного на 576: (900 + 10a + b) − (100a + 10b + 9) = 576
Раскроем скобки: 900 + 10a + b − 100a − 10b − 9 = 576
Приведём подобные слагаемые: 900 − 9 + 10a − 100a + b − 10b = 576 891 − 90a − 9b = 576
Перенесём 576 в левую часть: 891 − 576 = 90a + 9b 315 = 90a + 9b
Разделим обе части на 9: 35 = 10a + b
Получается: 10a + b = 35
Так как a и b — цифры (от 0 до 9), то:
- если a = 3, то b = 35 − 30 = 5
- другие значения a не подходят (либо b > 9, либо b < 0)
Значит, a = 3 и b = 5.
Исходное число: 935
Проверка:
- Исходное число: 935
- После перестановки: 359
- Разность: 935 − 359 = 576 ✓