Номер 1139 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1139.
(Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2) Составьте систему уравнений и решите её.
3) Проверьте правильность полученного ответа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте буквой x число, на которое уменьшается 100, а буквами m и n — частные при делении на 5 и 7. Используйте формулу деления с остатком: делимое = делитель × частное + остаток.
Решение по шагам
- Обозначим удобные переменные:
Пусть x — число, на которое надо уменьшить 100. Тогда (100 - x) — полученная разность.
Пусть m — частное при делении (100 - x) на 5. Пусть n — частное при делении (100 - x) на 7.
- Составляем систему уравнений:
По условию деления с остатком: — При делении на 5 с остатком 1: 100 - x = 5m + 1 — При делении на 7 с остатком 1: 100 - x = 7n + 1 — Первое частное на 2 больше второго: m = n + 2
Система уравнений: 100 - x = 5m + 1 100 - x = 7n + 1 m = n + 2
- Решаем систему:
Из первого и второго уравнений: 5m + 1 = 7n + 1 5m = 7n
Подставляем m = n + 2: 5(n + 2) = 7n 5n + 10 = 7n 10 = 7n - 5n 10 = 2n n = 5
Находим m: m = n + 2 = 5 + 2 = 7
Находим (100 - x): 100 - x = 7n + 1 = 7 · 5 + 1 = 35 + 1 = 36
Находим x: x = 100 - 36 = 64
- Проверка:
Разность: 100 - 64 = 36
Делим 36 на 5: 36 ÷ 5 = 7 (остаток 1) ✓ Остаток равен 1 ✓ Частное равно 7
Делим 36 на 7: 36 ÷ 7 = 5 (остаток 1) ✓ Остаток равен 1 ✓ Частное равно 5
Проверяем условие на частные: 7 - 5 = 2 ✓ Первое частное на 2 больше второго
Всё верно!
Редакция 2019
№ 1139.
Докажите, что если в уравнении ах + by = 81 коэффициенты а и b – целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставьте координаты точки в уравнение. Вынесите общий делитель из коэффициентов при переменных в левой части. Проверьте делимость обеих частей на этот делитель.
Решение по шагам
Давайте докажем, что пара чисел (15; 40) не может быть решением уравнения ах + by = 81 при целых а и b.
Шаг 1. Предположим, что пара (15; 40) является решением уравнения.
Тогда при подстановке х = 15 и у = 40 должно выполняться: a·15 + b·40 = 81
Шаг 2. Выразим это уравнение по-другому.
Вынесем общий делитель левой части: 15a + 40b = 81
Шаг 3. Найдём общий делитель для чисел 15 и 40.
Оба числа делятся на 5:
- 15 = 5 · 3
- 40 = 5 · 8
Шаг 4. Преобразуем левую часть уравнения.
5(3a + 8b) = 81
Шаг 5. Проверим делимость.
Левая часть 5(3a + 8b) — это число, которое делится на 5 (так как его множитель 5). Правая часть 81 не делится на 5, так как 81 : 5 = 16,2
Шаг 6. Вывод.
Мы получили противоречие: левая часть всегда делится на 5, а правая часть на 5 не делится. Это значит, что при целых a и b это равенство невозможно.
Следовательно, пара чисел (15; 40) не может быть решением уравнения ах + by = 81.