Номер 1112 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1112.
Имеет ли решения система уравнений и сколько:
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала попробуй привести уравнения к одинаковому виду, умножив на нужное число. Потом сложи уравнения — посмотри, что получится: если 0 = 0, то решений много; если 0 равно другому числу, то решений нет.
Решение по шагам
Чтобы узнать, имеет ли система уравнений решения, нужно проверить, совместима ли она. Для этого можно использовать метод сравнения коэффициентов.
Пункт а)
Система: 2x - y = 1 -6x + 3y = 2
Шаг 1: Умножим первое уравнение на 3: 6x - 3y = 3
Шаг 2: Теперь сравним полученное уравнение со вторым уравнением. Полученное: 6x - 3y = 3 Второе уравнение: -6x + 3y = 2
Шаг 3: Сложим эти два уравнения: (6x - 3y) + (-6x + 3y) = 3 + 2 0 = 5
Шаг 4: Получилось противоречие (0 ≠ 5). Это значит, что система не имеет решений.
Пункт б)
Система: -5x + 2y = 7 15x - 6y = -21
Шаг 1: Умножим первое уравнение на 3: -15x + 6y = 21
Шаг 2: Теперь сравним со вторым уравнением. Полученное: -15x + 6y = 21 Второе уравнение: 15x - 6y = -21
Шаг 3: Сложим эти два уравнения: (-15x + 6y) + (15x - 6y) = 21 + (-21) 0 = 0
Шаг 4: Получилось верное равенство (0 = 0). Это значит, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечно много решений.
Редакция 2019
№ 1112.
Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь – 3а 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала найди скорость лодки по течению из условия про 70 км. Потом найди расстояние между пристанями. Наконец, составь систему уравнений, используя формулы: скорость по течению = v + u, скорость против течения = v - u.
Решение по шагам
- Сначала найдём скорость лодки по течению.
Если 70 км по течению лодка проходит за 3,5 ч, то: Скорость по течению = 70 : 3,5 = 20 км/ч
- Обозначим:
- v — скорость лодки в стоячей воде (то, что нужно найти)
- u — скорость течения реки
Тогда:
- Скорость по течению: v + u = 20 км/ч
- Расстояние между пристанями одинаково в обе стороны
По течению лодка идёт 4 часа со скоростью (v + u) км/ч. Расстояние: S = 4 · 20 = 80 км
Против течения лодка идёт 5 часов, значит её скорость против течения: v - u = 80 : 5 = 16 км/ч
Теперь у нас есть два уравнения: v + u = 20 v - u = 16
Сложим их: (v + u) + (v - u) = 20 + 16 2v = 36 v = 18 км/ч
- Проверка: если v = 18, то u = 20 - 18 = 2 км/ч По течению: 18 + 2 = 20 км/ч ✓ Против течения: 18 - 2 = 16 км/ч ✓ Расстояние: 4 · 20 = 80 км и 5 · 16 = 80 км ✓