Номер 1089 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1089.
Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:
а) 7х + 4у = 23 и 8х – 10у = 19;
б) 11х – 6у = 2 и -8х +5у = 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Точка пересечения графиков — это точка, которая принадлежит обоим графикам. Значит, её координаты удовлетворяют оба уравнения одновременно. Решите систему из двух уравнений способом сложения (метод исключения одной переменной).
Решение по шагам
Когда два графика пересекаются, их координаты удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Нужно решить систему из двух уравнений.
а) 7х + 4у = 23 и 8х – 10у = 19
Шаг 1: Запишем систему: 7х + 4у = 23 8х – 10у = 19
Шаг 2: Умножим первое уравнение на 5, второе на 2, чтобы исключить у: 5(7х + 4у) = 5 · 23 → 35х + 20у = 115 2(8х – 10у) = 2 · 19 → 16х – 20у = 38
Шаг 3: Сложим оба уравнения: 35х + 20у + 16х – 20у = 115 + 38 51х = 153 х = 3
Шаг 4: Подставим х = 3 в первое уравнение: 7 · 3 + 4у = 23 21 + 4у = 23 4у = 2 у = 0,5
Шаг 5: Проверка во втором уравнении: 8 · 3 – 10 · 0,5 = 24 – 5 = 19 ✓
б) 11х – 6у = 2 и -8х + 5у = 3
Шаг 1: Запишем систему: 11х – 6у = 2 -8х + 5у = 3
Шаг 2: Умножим первое уравнение на 5, второе на 6: 5(11х – 6у) = 5 · 2 → 55х – 30у = 10 6(-8х + 5у) = 6 · 3 → -48х + 30у = 18
Шаг 3: Сложим оба уравнения: 55х – 30у – 48х + 30у = 10 + 18 7х = 28 х = 4
Шаг 4: Подставим х = 4 во второе уравнение: -8 · 4 + 5у = 3 -32 + 5у = 3 5у = 35 у = 7
Шаг 5: Проверка в первом уравнении: 11 · 4 – 6 · 7 = 44 – 42 = 2 ✓
Редакция 2019
№ 1089.
Прямая у = кх + b проходит через точки А(−1; 3) и В(2; −1). Напишите уравнение этой прямой.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь координаты каждой точки в общее уравнение прямой y = kx + b. У тебя получится система из двух уравнений с двумя неизвестными (k и b). Реши эту систему способом вычитания или подстановки.
Решение по шагам
Нужно найти коэффициенты k и b в уравнении y = kx + b, используя то, что прямая проходит через две известные точки.
Шаг 1: Подставляем координаты точки А(−1; 3)
В уравнение y = kx + b подставляем x = −1 и y = 3: 3 = k · (−1) + b 3 = −k + b
Шаг 2: Подставляем координаты точки В(2; −1)
В уравнение y = kx + b подставляем x = 2 и y = −1: −1 = k · 2 + b −1 = 2k + b
Шаг 3: Решаем систему уравнений
Получилась система: −k + b = 3 ... (1) 2k + b = −1 ... (2)
Вычтем из уравнения (2) уравнение (1): (2k + b) − (−k + b) = −1 − 3 2k + b + k − b = −4 3k = −4 k = −4/3
Шаг 4: Находим b
Подставляем k = −4/3 в уравнение (1): −(−4/3) + b = 3 4/3 + b = 3 b = 3 − 4/3 = 9/3 − 4/3 = 5/3
Шаг 5: Проверяем
Для точки А(−1; 3): y = −4/3 · (−1) + 5/3 = 4/3 + 5/3 = 9/3 = 3 ✓ Для точки В(2; −1): y = −4/3 · 2 + 5/3 = −8/3 + 5/3 = −3/3 = −1 ✓