ГлавнаяГДЗАлгебра 7 класс МакарычевНомер 1024

Номер 1024 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Редакция 2024

№ 1024.

Докажите, что число, равное разности 111 111 – 222, является квадратом натурального числа.

💡 Подсказка (без ответа)

Сначала выполни вычитание 111 111 – 222. Потом попробуй найти квадратный корень из полученного числа — проверь, не является ли это произведением одного и того же натурального числа на себя.

Решение по шагам

  1. Вычислим разность 111 111 – 222: 111 111 – 222 = 110 889

  2. Теперь нужно проверить, является ли число 110 889 полным квадратом. Для этого найдём квадратный корень: √110 889 = ?

  3. Примерно оценим: 300² = 90 000, а 400² = 160 000. Значит корень между 300 и 400. Попробуем 330: 330² = 108 900 Попробуем 333: 333² = 110 889

  4. Проверим: 333 × 333 = 333 × (300 + 33) = 333 × 300 + 333 × 33 = 99 900 + 10 989 = 110 889 ✓

  5. Число 333 — натуральное число.

Вывод: 111 111 – 222 = 333², значит, разность равна квадрату натурального числа 333.

Ответ: 111 111 – 222 = 333² (доказано, что это квадрат натурального числа 333)

Редакция 2019

№ 1024.

Докажите тождество (10n + 5)2 = 100n(n + 1) + 25. Используя это тождество, сформулируйте правило воздействия в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу 252, 452, 752, 1152.

💡 Подсказка (без ответа)

Раскройте скобки в левой части по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b². После раскрытия вынесите 100n за скобки и получите нужный вид. Затем посмотрите на коэффициент перед n и объясните, почему так удобно возводить числа, оканчивающиеся на 5.

Решение по шагам

Доказательство тождества:

Развернём левую часть: (10n + 5)² = (10n)² + 2·10n·5 + 5² = 100n² + 100n + 25

Преобразуем: 100n² + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25

Правая часть: 100n(n + 1) + 25 = 100n² + 100n + 25

Левая часть = Правой части. Тождество доказано!

Правило возведения в квадрат числа, оканчивающегося на 5:

Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно:

  1. Умножить число десятков на число, на 1 большее
  2. К результату приписать 25

Альтернативное описание: если число имеет вид 10n + 5, то его квадрат равен n(n + 1) с приписанным в конце 25.

Находим по правилу:

25²: Число десятков = 2 2·(2 + 1) = 2·3 = 6 Ответ: 625

45²: Число десятков = 4 4·(4 + 1) = 4·5 = 20 Ответ: 2025

75²: Число десятков = 7 7·(7 + 1) = 7·8 = 56 Ответ: 5625

115²: Число десятков = 11 11·(11 + 1) = 11·12 = 132 Ответ: 13225

Ответ: 1) Тождество доказано; 2) Правило: умножить число десятков на число, на 1 большее, и приписать 25; 3) 25² = 625; 45² = 2025; 75² = 5625; 115² = 13225

← Номер 1023 · Номер 1025 → · Все номера