Номер 1016 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Присмотрись к каждой скобке отдельно — в них спрятаны формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и квадрат разности). Когда упростишь скобки, получишь произведение квадратов, которые удобно объединять через свойства степеней.

Решаем пошагово, упростим каждую скобку.

Шаг 1. Упростим первую скобку: a(a+2b)+b² = a² + 2ab + b²

Осознаём, что это формула квадрата суммы: a² + 2ab + b² = (a+b)²

Шаг 2. Упростим вторую скобку: a(a-2b)+b² = a² - 2ab + b²

Это формула квадрата разности: a² - 2ab + b² = (a-b)²

Шаг 3. Упростим третью скобку: (a²-b²)² + 4a²b²

Раскроем квадрат в первом слагаемом: (a²-b²)² = a⁴ - 2a²b² + b⁴

Подставим: a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴

Осознаём, что это формула квадрата суммы: a⁴ + 2a²b² + b⁴ = (a²+b²)²

Шаг 4. Перемножим всё вместе: (a+b)² · (a-b)² · (a²+b²)²

Шаг 5. Используем свойство степеней: (a+b)² · (a-b)² = [(a+b)(a-b)]² = (a²-b²)²

Получаем: (a²-b²)² · (a²+b²)² = [(a²-b²)(a²+b²)]²

Шаг 6. Раскроем скобки в основании: (a²-b²)(a²+b²) = a⁴ + a²b² - a²b² - b⁴ = a⁴ - b⁴

Шаг 7. Возведём в квадрат: (a⁴-b⁴)² = a⁸ - 2a⁴b⁴ + b⁸

Используй метод группировки: сначала сгруппируй слагаемые по два, вынеси общие множители из каждой группы, а потом вынеси получившийся общий множитель из всего выражения. Затем проверь, можно ли разложить полученный множитель дальше (например, разность квадратов).

а) x²(x + 2y) − x − 2y

1. Заметим, что можно вынести общий множитель (x + 2y) из всего выражения.
2. Переpишем: x²(x + 2y) − 1·(x + 2y)
3. Выносим (x + 2y) за скобки: (x + 2y)(x² − 1)
4. Раскладываем разность квадратов: (x + 2y)(x − 1)(x + 1)

б) x²(2y − 5) − 8y + 20

1. Сначала работаем с последними двумя слагаемыми: −8y + 20 = −4(2y − 5)
2. Переписываем всё: x²(2y − 5) − 4(2y − 5)
3. Выносим (2y − 5) за скобки: (2y − 5)(x² − 4)
4. Раскладываем разность квадратов: (2y − 5)(x − 2)(x + 2)

в) a³ − 5a² − 4a + 20

1. Группируем по два слагаемых: (a³ − 5a²) + (−4a + 20)
2. Из первой группы выносим a²: a²(a − 5)
3. Из второй группы выносим −4: −4(a − 5)
4. Получилось: a²(a − 5) − 4(a − 5)
5. Выносим (a − 5): (a − 5)(a² − 4)
6. Раскладываем разность квадратов: (a − 5)(a − 2)(a + 2)

г) x³ − 4x² − 9x + 36

1. Группируем по два слагаемых: (x³ − 4x²) + (−9x + 36)
2. Из первой группы выносим x²: x²(x − 4)
3. Из второй группы выносим −9: −9(x − 4)
4. Получилось: x²(x − 4) − 9(x − 4)
5. Выносим (x − 4): (x − 4)(x² − 9)
6. Раскладываем разность квадратов: (x − 4)(x − 3)(x + 3)