Номер 1011 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1011.
Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) (а-3)(а²-8а+5) – (а-8)(а²-3а+5);
б) (x²-3x+2)(2x+5) – (2x²+7x+17)(x-4).
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки в каждом произведении по распределительному закону (умножай каждый член на каждый). Затем приведи подобные слагаемые. Если все слагаемые с переменной сократятся, останется только число.
Решение по шагам
Докажем, что выражения не зависят от переменной, упростив их и получив число.
а) (а-3)(а²-8а+5) – (а-8)(а²-3а+5)
Раскроем первые скобки (а-3)(а²-8а+5): a·a² + a·(-8a) + a·5 + (-3)·a² + (-3)·(-8a) + (-3)·5 = a³ - 8a² + 5a - 3a² + 24a - 15 = a³ - 11a² + 29a - 15
Раскроем вторые скобки (а-8)(а²-3а+5): a·a² + a·(-3a) + a·5 + (-8)·a² + (-8)·(-3a) + (-8)·5 = a³ - 3a² + 5a - 8a² + 24a - 40 = a³ - 11a² + 29a - 40
Вычтем второе из первого: (a³ - 11a² + 29a - 15) - (a³ - 11a² + 29a - 40) = a³ - 11a² + 29a - 15 - a³ + 11a² - 29a + 40 = 25
Результат: число 25, не зависит от а ✓
б) (x²-3x+2)(2x+5) – (2x²+7x+17)(x-4)
Раскроем первые скобки (x²-3x+2)(2x+5): x²·2x + x²·5 + (-3x)·2x + (-3x)·5 + 2·2x + 2·5 = 2x³ + 5x² - 6x² - 15x + 4x + 10 = 2x³ - x² - 11x + 10
Раскроем вторые скобки (2x²+7x+17)(x-4): 2x²·x + 2x²·(-4) + 7x·x + 7x·(-4) + 17·x + 17·(-4) = 2x³ - 8x² + 7x² - 28x + 17x - 68 = 2x³ - x² - 11x - 68
Вычтем второе из первого: (2x³ - x² - 11x + 10) - (2x³ - x² - 11x - 68) = 2x³ - x² - 11x + 10 - 2x³ + x² + 11x + 68 = 78
Результат: число 78, не зависит от x ✓
Редакция 2019
№ 1011.
Разложите на множители:
а) 70a − 84b + 20ab − 24b2; б) 21bc2 − 6c − 3c3 + 42b; в) 12y − 9x2 + 36 − 3x2y; г) 30a3 − 18a2b − 72b + 120a.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй метод группировки: раздели четыре члена на две пары, вынеси из каждой пары общий множитель, а затем вынеси общий множитель из получившихся двух выражений. Проверь, не разлагается ли результат дальше (например, разность квадратов).
Решение по шагам
Разложение на множители методом группировки:
а) 70a − 84b + 20ab − 24b²
Группируем первые два члена и последние два: (70a − 84b) + (20ab − 24b²)
Выносим общий множитель из каждой группы: 14(5a − 6b) + 4b(5a − 6b)
Теперь (5a − 6b) — общий множитель для обеих групп: (5a − 6b)(14 + 4b)
Упрощаем вторую скобку: (5a − 6b) · 2(7 + 2b) = 2(5a − 6b)(7 + 2b)
б) 21bc² − 6c − 3c³ + 42b
Переставляем и группируем: (21bc² + 42b) + (−3c³ − 6c)
Выносим общий множитель: 21b(c² + 2) − 3c(c² + 2)
Выносим (c² + 2): (c² + 2)(21b − 3c)
Упрощаем вторую скобку: (c² + 2) · 3(7b − c) = 3(c² + 2)(7b − c)
в) 12y − 9x² + 36 − 3x²y
Переставляем и группируем: (12y + 36) + (−9x² − 3x²y)
Выносим общий множитель: 12(y + 3) − 3x²(3 + y)
Выносим (y + 3) или (3 + y) — одно и то же: (y + 3)(12 − 3x²)
Упрощаем вторую скобку: (y + 3) · 3(4 − x²) = 3(y + 3)(4 − x²)
Можно ещё разложить разность квадратов: 3(y + 3)(2 − x)(2 + x)
г) 30a³ − 18a²b − 72b + 120a
Группируем: (30a³ + 120a) + (−18a²b − 72b)
Выносим общий множитель: 30a(a² + 4) − 18b(a² + 4)
Выносим (a² + 4): (a² + 4)(30a − 18b)
Упрощаем вторую скобку: (a² + 4) · 6(5a − 3b) = 6(a² + 4)(5a − 3b)