Номер 1012 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Раскрой скобки в левой части по распределительному закону: сначала первую пару (а² + b²)(ab + cd), потом вторую ab(a² + b² – c² – d²). Затем упрости, приведи подобные и сравни с правой частью, которую тоже раскрой по распределительному закону.

Раскроем скобки в левой части и упростим, чтобы получить правую часть.

Левая часть: (а² + b²)(ab + cd) – ab(a² + b² – c² – d²)

Раскроем первые скобки: (а² + b²)(ab + cd) = а³b + а²cd + ab³ + b²cd

Раскроем вторые скобки: ab(a² + b² – c² – d²) = a³b + ab³ – abc² – abd²

Вычтем из первого второе: а³b + а²cd + ab³ + b²cd – (a³b + ab³ – abc² – abd²) = = а³b + а²cd + ab³ + b²cd – a³b – ab³ + abc² + abd² = = а²cd + b²cd + abc² + abd²

Вынесем общие множители: = cd(а² + b²) + ab(c² + d²)

Правая часть: (ac + bd)(ad + bc)

Раскроем скобки: = ac·ad + ac·bc + bd·ad + bd·bc = = a²cd + abc² + abd² + b²cd = = a²cd + b²cd + abc² + abd²

Вывод: Левая часть = a²cd + b²cd + abc² + abd² = Правая часть

Тождество доказано ✓

Сгруппируйте члены выражения по парам так, чтобы из каждой пары можно было вынести общий множитель. После этого вынесите получившийся одинаковый множитель из всего выражения. Помните о формулах разности квадратов и суммы кубов.

Задание №1012: Преобразуйте в произведение

а) 3a³ − 3ab² + a²b − b³

Группируем по парам: (3a³ − 3ab²) + (a²b − b³)

Выносим общий множитель из каждой группы: 3a(a² − b²) + b(a² − b³)

Перегруппируем иначе: (3a³ + a²b) − (3ab² + b³)

Выносим: a²(3a + b) − b²(3a + b)

Выносим общий двучлен (3a + b): (3a + b)(a² − b²)

Разложим разность квадратов: (3a + b)(a − b)(a + b)

б) 2x − a²y − 2a²x + y

Переставим члены: 2x − 2a²x + y − a²y

Группируем: (2x − 2a²x) + (y − a²y)

Выносим общий множитель: 2x(1 − a²) + y(1 − a²)

Выносим (1 − a²): (1 − a²)(2x + y)

Разложим (1 − a²): (1 − a)(1 + a)(2x + y)

в) 3p − 2c³ − 3c³p + 2

Переставим: 3p − 3c³p + 2 − 2c³

Группируем: (3p − 3c³p) + (2 − 2c³)

Выносим: 3p(1 − c³) + 2(1 − c³)

Выносим (1 − c³): (1 − c³)(3p + 2)

г) a⁴ − 24 + 8a − 3a³

Переставим в удобном порядке: a⁴ − 3a³ + 8a − 24

Группируем: (a⁴ − 3a³) + (8a − 24)

Выносим: a³(a − 3) + 8(a − 3)

Выносим (a − 3): (a − 3)(a³ + 8)

Разложим сумму кубов (a³ + 8 = a³ + 2³): (a − 3)(a + 2)(a² − 2a + 4)