Уравнения с параметром и радикалами: задание 18 профильного ЕГЭ

О чём эта подтема

Уравнения с параметром, в которых встречается радикал (чаще всего квадратный корень), — один из самых частых видов задания 18. Их сложность в том, что корень требует неотрицательности подкоренного выражения и самого значения корня, поэтому нельзя просто «выразить $x$ через $a$» и подставлять что угодно — область допустимых значений (ОДЗ) и знаки выражений становятся частью решения, а не формальностью.

Для таких уравнений работают два основных метода. Первый — алгебраический: вводится замена $t=\sqrt{f(x)}$, уравнение сводится к соотношению между $t$ и $a$, а дальше исследуется, при каких $a$ это соотношение имеет решение в нужном множестве значений $t$. Второй — графический: уравнение переписывается так, что один корень задаёт часть окружности, параболы или другой узнаваемой кривой, а правая часть — семейство прямых, зависящих от параметра. Тогда задача сводится к подсчёту точек пересечения прямой и дуги.

Оба подхода требуют аккуратной работы с ОДЗ и чёткого понимания, какая часть кривой (только верхняя половина окружности, только неотрицательная ветвь параболы и т.п.) реально участвует в уравнении.

Что нужно знать

Для решения этой подтемы достаточно уверенно владеть следующим набором фактов и приёмов.

ОДЗ радикала. Если в уравнении есть $\sqrt{g(x)}$, то обязательно $g(x)\ge 0$, а сам корень принимает значения $\sqrt{g(x)}\ge 0$. Если подкоренное выражение — квадратный трёхчлен со старшим отрицательным коэффициентом (например, $4x-x^2$ или $3-2x-x^2$), то оно ограничено сверху, и множество его значений — отрезок, а не вся полупрямая. Это напрямую задаёт границы для новой переменной при замене.

Замена переменной. Если после замены $t=\sqrt{g(x)}$ всё уравнение выражается только через $t$ (и $a$), задача сводится к анализу одной функции $f(t)$ на найденном отрезке значений $t$. Нужно уметь находить множество значений функции на отрезке — через монотонность (знак производной) или через выделение полного квадрата, если функция простая.

Уравнение окружности и полуокружность как график функции. Если после возведения в квадрат подкоренное выражение приводится к виду $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, то $y=\sqrt{r^2-(x-x_0)^2}+y_0$ задаёт только верхнюю половину окружности. Знание этого факта позволяет мгновенно узнавать геометрический смысл уравнения.

Пучок прямых через фиксированную точку. Если правая часть уравнения имеет вид $y=kx+b$, где и $k$, и $b$ зависят от параметра $a$, но при подстановке конкретного $x_0$ (не зависящего от $a$) значение $y$ оказывается постоянным, значит все прямые семейства проходят через одну точку $(x_0,y_0)$. Это ключевой приём: вместо анализа каждой прямой отдельно исследуется, как меняется число пересечений при повороте прямой вокруг фиксированного полюса.

Угловые коэффициенты опорных прямых. Чтобы понять, при каких $a$ прямая пересекает дугу нужное число раз, находят угловые коэффициенты прямых, соединяющих полюс с характерными точками дуги: её концами и, если нужно, точкой касания к окружности. Эти значения делят диапазон параметра на промежутки с разным числом решений.

Условие касания. Прямая касается окружности $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, если расстояние от центра до прямой равно $r$. Это можно проверить как через формулу расстояния от точки до прямой, так и через дискриминant квадратного уравнения, получаемого подстановкой прямой в уравнение окружности.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм 1 (алгебраический, через замену).

1. Найти ОДЗ подкоренного выражения $g(x)\ge 0$.
2. Ввести $t=\sqrt{g(x)}$ и определить множество значений $t$: учесть, что $t\ge 0$, а если $g(x)$ ограничена сверху (например, из-за отрицательного старшего коэффициента), верхняя граница $t$ находится через максимум $g(x)$.
3. Переписать всё уравнение через $t$ и $a$, получив соотношение вида $f(t)=\varphi(a)$.
4. Исследовать функцию $f(t)$ на найденном отрезке значений $t$: найти множество значений (через производную и определение промежутков монотонности).
5. Условие существования решения — попадание $\varphi(a)$ в найденное множество значений $f(t)$; если требуется единственность решения по $x$, дополнительно проверить, сколько $x$ отвечает каждому $t$.
6. Решить получившиеся неравенства (или уравнения) относительно $a$ и записать ответ.

Алгоритм 2 (графический, через пучок прямых).

1. Найти ОДЗ, уединить радикал: $\sqrt{g(x)}=h(x,a)$.
2. Возвести обе части в квадрат мысленно, узнать кривую $y^2=g(x)$ (чаще всего окружность или парабола); зафиксировать, что $y=\sqrt{g(x)}\ge 0$ задаёт только её верхнюю часть.
3. Проверить, что правая часть $y=h(x,a)$ — прямая, проходящая через одну и ту же точку при всех $a$ (подставить $x$, обнуляющий коэффициент при $a$).
4. Найти координаты концов дуги (пересечение кривой с осью $y=0$) и, если нужно, координаты «вершины» дуги.
5. Вычислить угловые коэффициенты прямых, соединяющих полюс с этими точками, а при необходимости — условие касания.
6. С помощью рисунка (или последовательного перебора характерных положений прямой) определить, на каких промежутках угловых коэффициентов число пересечений с дугой равно требуемому.
7. Перевести полученные значения углового коэффициента обратно в значения параметра $a$ и аккуратно определить открытость/замкнутость границ (совпадение с концами дуги обычно даёт включённые границы, касание — отдельную точку).

Разбор примера

Пример 1. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(4x-x^2)^2-32\sqrt{4x-x^2}=a^2-14a$$ имеет хотя бы одно решение.

Шаг 1. ОДЗ: $4x-x^2\ge 0$. Заметим также, что $4x-x^2=-(x-2)^2+4\le 4$. Значит подкоренное выражение принимает все значения из отрезка $[0,4]$.

Шаг 2. Пусть $t=\sqrt{4x-x^2}$. Тогда $t\in[0,2]$ (так как $4x-x^2\in[0,4]$, а корень из отрезка $[0,4]$ даёт отрезок $[0,2]$).

Шаг 3. Уравнение принимает вид $t^4-32t=a^2-14a$, то есть $f(t)=a^2-14a$, где $f(t)=t^4-32t$.

Шаг 4. Исследуем $f(t)$ на $[0,2]$. Производная: $f'(t)=4t^3-32=4(t^3-8)$. На отрезке $[0,2]$ имеем $t^3\le 8$, значит $f'(t)\le 0$, причём равенство только при $t=2$. Функция убывает на всём отрезке. Значит наибольшее значение — на левом конце, наименьшее — на правом: $$f(0)=0,\qquad f(2)=16-64=-48.$$ Множество значений $f(t)$ на $[0,2]$ — это отрезок $[-48,0]$.

Шаг 5. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $a^2-14a\in[-48,0]$, то есть выполняется система $$a^2-14a\le 0,\qquad a^2-14a+48\ge 0.$$

Шаг 6. Первое неравенство: $a(a-14)\le 0 \Rightarrow a\in[0,14]$.

Второе неравенство: дискриминант $196-192=4$, корни $\dfrac{14\pm2}{2}=8$ и $6$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $a\le 6$ или $a\ge 8$.

Шаг 7. Пересекаем оба условия: $a\in[0,6]\cup[8,14]$.

Ответ: $0\le a\le 6,\ 8\le a\le 14$.

Пример 2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ax+\sqrt{3-2x-x^2}=4a+2$$ имеет единственный корень.

Шаг 1. ОДЗ: $3-2x-x^2\ge 0 \Leftrightarrow x^2+2x-3\le 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-1)\le 0 \Leftrightarrow x\in[-3,1]$.

Шаг 2. Уединим радикал: $\sqrt{3-2x-x^2}=4a+2-ax=a(4-x)+2$.

Шаг 3. Заметим, что $3-2x-x^2=4-(x+1)^2$, значит уравнение $y=\sqrt{3-2x-x^2}$ при $y=\sqrt{4-(x+1)^2}$ задаёт верхнюю половину окружности $(x+1)^2+y^2=4$ с центром $(-1,0)$ и радиусом $2$, где $y\ge0$.

Шаг 4. Правая часть $y=a(4-x)+2=-ax+(4a+2)$ — прямая с угловым коэффициентом $k=-a$. При $x=4$ значение $y=2$ не зависит от $a$: все прямые семейства проходят через фиксированную точку $P(4,2)$.

Шаг 5. Найдём концы дуги (пересечение окружности с осью $y=0$): $(x+1)^2=4 \Rightarrow x=1$ или $x=-3$. Получаем точки $A(-3,0)$ и $B(1,0)$. Верхняя точка дуги (вершина полуокружности) — $C(-1,2)$ (при $x=-1$, $y=2$).

Шаг 6. Вычислим угловые коэффициенты прямых из полюса $P(4,2)$ к этим точкам: $$k_A=\frac{2-0}{4-(-3)}=\frac{2}{7},\qquad k_B=\frac{2-0}{4-1}=\frac{2}{3},\qquad k_C=\frac{2-2}{4-(-1)}=0.$$

Шаг 7. Проверим прямую с $k=0$: это $y=2$. Расстояние от центра $(-1,0)$ до прямой $y=2$ равно $2$, что равно радиусу — значит прямая касается окружности, причём именно в точке $C(-1,2)$, которая принадлежит верхней дуге. Касание даёт ровно одну точку пересечения, значит $k=0$ (то есть $a=0$) — рабочее значение.

Шаг 8. При повороте прямой вокруг $P$ от направления к $A$ до направления к $B$ (это соответствует $k$ от $k_A=\frac27$ до $k_B=\frac23$) прямая пересекает полную окружность в двух точках, но при подходе к $B$ вторая точка пересечения уходит на нижнюю половину окружности (не входит в ОДЗ по знаку корня), а при подходе к $A$ обе точки ещё остаются на верхней дуге. Анализ показывает, что ровно одно пересечение с верхней полуокружностью получается при $k\in\left(\frac27,\frac23\right]$, то есть когда прямая проходит через $B$ включительно, но не доходит до прохождения через $A$.

Шаг 9. Переводим обратно: $k=-a$, поэтому $-a\in\left(\frac27,\frac23\right] \Rightarrow a\in\left[-\frac23,-\frac27\right)$.

Шаг 10. Объединяем с отдельным значением $a=0$, найденным ранее через касание.

Ответ: $a\in\left[-\dfrac23,-\dfrac27\right)\cup\{0\}$.

Типичные ошибки

Самая частая ошибка — забыть про ОДЗ подкоренного выражения и работать с уравнением так, будто $t$ может принимать любые неотрицательные значения, хотя на самом деле область значений $g(x)$ ограничена и сверху. Это меняет отрезок для $t$ и портит весь дальнейший анализ.

Вторая ошибка — при графическом методе забыть, что $y=\sqrt{g(x)}$ задаёт только верхнюю половину кривой, и по невнимательности учитывать пересечения с нижней частью окружности или параболы, которые не соответствуют исходному уравнению.

Третья ошибка — неверно определить открытость и замкнутость границ промежутков параметра. Прохождение прямой ровно через конец дуги часто даёт единственное решение и включается в ответ, а прохождение через другой конец — уже два решения (или ноль), и граница исключается. Эти случаи нужно проверять отдельно, а не угадывать по симметрии.

Четвёртая ошибка — при возведении в квадрат терять контроль над знаком: уравнение $\sqrt{g(x)}=h(x,a)$ равносильно системе $h(x,a)\ge 0$ и $g(x)=h(x,a)^2$ только при выполнении обоих условий; если работать через замену $t=\sqrt{g(x)}$, этот момент автоматически учитывается через $t\ge0$, но при прямом возведении в квадрат его легко упустить.

Пятая ошибка — путать условие «хотя бы одно решение» с условием «единственное решение»: для первого достаточно, чтобы значение параметра попало в множество значений функции, а для второго нужно ещё проверить, что каждому подходящему значению новой переменной соответствует ровно один исходный $x$ (или, в графическом методе, что прямая пересекает дугу ровно один раз, а не дважды).

На что обратить внимание на экзамене

Всегда начинайте с ОДЗ и сразу фиксируйте границы для новой переменной или для координаты $x$ — это экономит время и защищает от ошибок в конце решения. При графическом методе обязательно делайте набросок: отметьте центр и радиус окружности (или параболу), полюс пучка прямых, концы дуги и точку касания, если она есть, — рисунок сразу подсказывает, какие промежутки угловых коэффициентов дают нужное число решений.

После получения ответа полезно подставить крайние и характерные значения параметра (концы промежутков, отдельные точки вроде $a=0$) в исходное уравнение и проверить напрямую, что число решений соответствует условию задачи — это особенно важно для проверки открытости или замкнутости границ.

Внимательно читайте формулировку: «хотя бы одно решение», «единственное решение», «ровно два решения» — за каждой стоит своё условие на функцию или на число пересечений, и подмена одного условия другим — частая причина потери баллов даже при правильном методе решения.