Задание 18 ЕГЭ: метод оценок и монотонности в задачах с параметром

О чём эта подтема

Задание 18 часто даёт уравнение (или систему), где справа и слева стоят суммы модулей и корней, зависящие и от $x$, и от параметра $a$. Раскрывать все модули по случаям — это десятки страниц вычислений и почти гарантированные ошибки. Метод оценок и монотонности предлагает другой путь: доказать, что левая часть уравнения (после переноса всего в одну сторону) всегда не меньше некоторого числа $h(a)$, зависящего только от $a$, причём равенство достигается в конкретной точке. Тогда уравнение имеет решение ровно тогда, когда $h(a)\le 0$. Это превращает громоздкое уравнение с модулями в одно квадратное неравенство относительно $a$.

Этот приём — один из самых мощных в задании 18: он экономит время и даёт короткое, чисто алгебраическое решение там, где перебор случаев занял бы весь экзамен.

Что нужно знать

Для применения метода нужен небольшой, но чётко зафиксированный набор фактов.

1. Неравенство треугольника для модулей. $$|u+v|\le |u|+|v|,\qquad |u-v|\le |u|+|v|.$$ Равенство в первом случае достигается, когда $u$ и $v$ имеют одинаковый знак (или один из них равен нулю), то есть $uv\ge 0$. Во втором случае равенство достигается при $uv\le 0$ — когда $u$ и $-v$ одного знака.

2. Оценка суммы модуля и корня снизу. Если под корнем стоит выражение вида $x^2+c$ с $c>0$, то $$\sqrt{x^2+c}\ge \sqrt{c},$$ равенство достигается при $x=0$. Более того, сумма вида $$k|x|+m\sqrt{x^2+c},\quad k>0,\ m>0,$$ достигает своего наименьшего значения именно при $x=0$ и монотонно возрастает при увеличении $|x|$. Это легко проверить: при $x>0$ производная $k+\dfrac{mx}{\sqrt{x^2+c}}$ положительна, функция чётная — значит минимум в нуле, и дальше идёт рост в обе стороны.

3. Умение выделять полный квадрат под корнем. Например, $x^2-6x+13=(x-3)^2+4$. Без этого преобразования оценку применить не получится.

4. Работа с $|a|$ в неравенствах относительно параметра. После применения оценок обычно получается неравенство вида $a^2 - pa - q|a| + r \le 0$. Его нужно решать раздельно для $a\ge 0$ и $a<0$, раскрывая модуль по определению.

5. Понимание, зачем нужна проверка совпадения точек равенства. Само по себе неравенство $F(x,a)\ge h(a)$ не решает уравнение $F(x,a)=0$ — оно лишь ограничивает его снизу. Чтобы уравнение действительно имело решение при $h(a)\le 0$, важно убедиться, что функция $F(x,a)$ непрерывна по $x$ и стремится к $+\infty$ при $x\to\pm\infty$ (тогда по теореме о промежуточном значении корень существует). А чтобы оценка была точной (то есть $h(a)$ — это именно минимум, а не заниженная граница), нужно проверить, что обе применённые оценки (неравенство треугольника и минимум суммы модуля с корнем) обращаются в равенства одновременно, в одной и той же точке.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм применения метода состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Перенести все члены уравнения в одну сторону, получить равенство $F(x,a)=0$.

Шаг 2. Сгруппировать слагаемые так, чтобы выделить общую переменную сдвига, например $t=x-x_0$, где $x_0$ — «центр» выражения под корнем (после выделения полного квадрата).

Шаг 3. Найти модуль, который зависит одновременно от $t$ (или $x$) и от $a$ — обычно это модуль вида $|t-ka|$. Оценить его через неравенство треугольника: $$|t-ka|\le |t|+k|a|.$$ Это позволяет «расцепить» переменные — заменить смешанный модуль суммой двух независимых модулей.

Шаг 4. Подставить эту оценку в $F(x,a)$. Если модуль входит со знаком минус, оценка «уменьшает вычитаемое», и получаем $$F(x,a)\ge (\text{выражение без смешанного модуля}).$$

Шаг 5. В получившемся выражении собрать члены, зависящие только от $t$ — как правило, это сумма вида $k'|t|+m\sqrt{t^2+c}$. Оценить её снизу минимальным значением при $t=0$.

Шаг 6. Собрать итоговую оценку $$F(x,a)\ge h(a),$$ где $h(a)$ зависит только от $a$.

Шаг 7. Обязательно проверить условие равенства: подставить $t=0$ в оценку неравенства треугольника из шага 3 и убедиться, что оно становится равенством для любого $a$ (обычно это так, потому что при $t=0$ выражение $|0-ka|=k|a|=|0|+k|a|$ — равенство автоматическое). Это гарантирует, что $h(a)$ — точный минимум $F(x,a)$ по $x$, достигаемый именно в точке $t=0$.

Шаг 8. Сделать вывод: уравнение $F(x,a)=0$ имеет решение тогда и только тогда, когда $$h(a)\le 0.$$

Шаг 9. Решить это неравенство относительно $a$, раскрывая $|a|$ по случаям $a\ge0$ и $a<0$, и записать итоговый промежуток.

Разбор примера

Пример 1. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$a^2+9|x-3|+3\sqrt{x^2-6x+13}=4a+2|x-2a-3|$$ имеет хотя бы один корень.

Шаг 1–2. Выделяем полный квадрат: $x^2-6x+13=(x-3)^2+4$. Вводим $t=x-3$, тогда $x-2a-3=t-2a$. Переносим всё влево: $$a^2-4a+9|t|+3\sqrt{t^2+4}-2|t-2a|=0.$$ Обозначим левую часть $F(t,a)$.

Шаг 3. Оцениваем смешанный модуль: $$|t-2a|\le |t|+2|a|\ \Rightarrow\ -2|t-2a|\ge -2|t|-4|a|.$$

Шаг 4. Подставляем: $$F(t,a)\ge a^2-4a+9|t|+3\sqrt{t^2+4}-2|t|-4|a|=a^2-4a-4|a|+7|t|+3\sqrt{t^2+4}.$$

Шаг 5. Оцениваем $7|t|+3\sqrt{t^2+4}$: минимум при $t=0$ равен $3\sqrt{4}=6$.

Шаг 6. Итог: $$F(t,a)\ge a^2-4a-4|a|+6.$$

Шаг 7. Проверка совпадения точек равенства: при $t=0$ первая оценка даёт $|0-2a|=2|a|=|0|+2|a|$ — равенство выполняется всегда, для любого $a$. Значит минимум $F(t,a)$ по $t$ действительно равен $a^2-4a-4|a|+6$ и достигается при $t=0$.

Шаг 8. Так как $F(t,a)\to+\infty$ при $t\to\pm\infty$ и $F$ непрерывна, уравнение $F(t,a)=0$ имеет решение тогда и только тогда, когда $$a^2-4a-4|a|+6\le 0.$$

Шаг 9. Рассматриваем случаи.

Если $a\ge 0$: $a^2-4a-4a+6\le0\Rightarrow a^2-8a+6\le0$. Корни: $a=4\pm\sqrt{10}$. Так как $4-\sqrt{10}\approx0{,}84>0$, весь отрезок $[4-\sqrt{10};\,4+\sqrt{10}]$ лежит в области $a\ge0$.

Если $a<0$: $a^2-4a+4a+6\le0\Rightarrow a^2+6\le0$ — решений нет.

Ответ: $a\in[4-\sqrt{10};\,4+\sqrt{10}]$.

Пример 2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$a^2+13|x|+5\sqrt{4x^2+9}=3a+3|4x-3a|$$ имеет хотя бы один корень.

Схема та же, поэтому шаги можно объединить.

Переносим всё влево: $$F(x,a)=a^2-3a+13|x|+5\sqrt{4x^2+9}-3|4x-3a|=0.$$

Оцениваем смешанный модуль через неравенство треугольника: $$|4x-3a|\le |4x|+3|a|=4|x|+3|a|\ \Rightarrow\ -3|4x-3a|\ge -12|x|-9|a|.$$

Подставляем: $$F(x,a)\ge a^2-3a-9|a|+13|x|+5\sqrt{4x^2+9}-12|x|=a^2-3a-9|a|+|x|+5\sqrt{4x^2+9}.$$

Оцениваем $|x|+5\sqrt{4x^2+9}$: при $x=0$ значение равно $5\cdot3=15$, и это минимум (сумма модуля и растущего корня, минимум в нуле по тем же соображениям монотонности).

Итоговая оценка: $$F(x,a)\ge a^2-3a-9|a|+15.$$

Проверка равенства при $x=0$: $|4\cdot 0-3a|=3|a|=4\cdot0+3|a|$ — равенство выполняется всегда, значит оценка точна.

Условие существования корня: $a^2-3a-9|a|+15\le0$.

При $a\ge0$: $a^2-12a+15\le0\Rightarrow a\in[6-\sqrt{21};6+\sqrt{21}]$; проверяем $6-\sqrt{21}\approx1{,}42>0$ — подходит.

При $a<0$: $a^2+6a+15\le0$, дискриминант $36-60<0$ — решений нет.

Ответ: $a\in[6-\sqrt{21};\,6+\sqrt{21}]$.

Оба примера показывают одну и ту же структуру: после переноса всех членов в одну сторону смешанный модуль «расщепляется» неравенством треугольника, остаток сворачивается в минимум суммы модуля и корня, а условие равенства проверяется автоматически при $x=x_0$ (или $t=0$), потому что второе слагаемое в модуле там равно нулю.

Типичные ошибки

• Забывают проверить, что равенство в неравенстве треугольника достигается именно в точке минимума второй оценки. Без этой проверки полученная граница $h(a)$ может быть заниженной, и весь вывод «уравнение имеет решение при $h(a)\le0$» окажется неверным или недостаточно обоснованным.
• Не рассматривают оба случая $a\ge0$ и $a<0$ при раскрытии $|a|$ — теряют часть ответа или получают неверный итоговый промежуток.
• Путают направление неравенства треугольника: применяют $|u-v|\le|u|+|v|$ там, где нужно было наоборот аккуратно выделить знак, из-за чего оценка получается неверной по смыслу (не снизу, а сверху, или с неправильным знаком).
• Не проверяют поведение функции на бесконечности. Если не убедиться, что $F(x,a)\to+\infty$ при $|x|\to\infty$, нельзя гарантировать существование корня именно при условии $h(a)\le 0$ (а не только $h(a)=0$).
• Пытаются решать через полный перебор случаев раскрытия модулей вместо применения оценки — это резко увеличивает объём вычислений и повышает риск арифметических ошибок, особенно при наличии трёх и более модулей.
• Ошибки при выделении полного квадрата под корнем — если квадрат выделен неверно, вся дальнейшая оценка рушится.
• Забывают перепроверить ответ подстановкой граничного значения $a$ и найденного $x_0$ в исходное уравнение — это быстрый и надёжный способ отловить арифметическую ошибку.

На что обратить внимание на экзамене

Ответ в задачах этого типа почти всегда получается в виде симметричного отрезка $[p-\sqrt{q};\,p+\sqrt{q}]$ — если у вас вышло что-то принципиально иное (несимметричное, с лишними точками разрыва), это сигнал перепроверить вычисления.

Перед тем как применять метод оценок, убедитесь, что структура уравнения действительно подходит: должен быть модуль, линейно зависящий и от $x$, и от $a$ (или их комбинации), а также слагаемые вида $k|x|+m\sqrt{x^2+c}$, которые естественно минимизируются в одной точке.

На экзамене стоит явно прописывать цепочку неравенств и указывать условие достижения равенства — это не только для собственной уверенности в правильности решения, но и напрямую влияет на оценку по критериям: эксперт должен увидеть обоснование, а не просто финальный ответ.

Полезно держать в голове стандартный набор алгебраических приёмов: выделение полного квадрата, оценка $\sqrt{x^2+c}\ge\sqrt c$, неравенство треугольника для модулей и разбор модуля параметра $|a|$ по знакам. Именно комбинация этих простых фактов, а не сложная теория, решает подобные задания быстро и надёжно.

Наконец, если после применения метода получившееся неравенство относительно $a$ выглядит слишком громоздким или не сводится к квадратному, вероятно, группировка на шаге 2 выбрана неоптимально — попробуйте другой сдвиг переменной или другую группировку слагаемых перед применением оценки.