Задание 8 ЕГЭ база: анализ утверждений — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 8 проверяет умение работать с логическими утверждениями на основе текстового описания ситуации. Никаких сложных вычислений здесь нет — важно уметь читать условие внимательно, выделять факты, которые в нём точно заданы, и отделять их от предположений, которые могут быть, а могут и не быть верными.

По сути, это задание на логическое мышление: даётся некоторая ситуация (про людей, предметы, животных, события), и нужно определить, какие из предложенных утверждений обязательно следуют из условия, а какие — нет. Утверждение считается верным, только если оно следует из данных логически, без дополнительных предположений. Если утверждение может быть верным, а может быть неверным (условие это не определяет однозначно) — оно не подходит.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных» или «которые верны при указанных условиях». Далее даётся текстовое описание ситуации и список из 4 утверждений (пронумерованных 1–4), из которых нужно выбрать несколько (обычно два) правильных.

Ответ записывается как последовательность цифр без пробелов, запятых и других символов, например «13» или «24». Порядок цифр в ответе значения не имеет — проверяется набор цифр.

Задание оценивается в 1 первичный балл. Балл ставится только за полностью верный ответ — частичного зачёта нет. Поэтому важно проверить все утверждения, а не останавливаться, найдя первое подходящее.

Что нужно знать

• Логическое следование: утверждение B следует из утверждения A, если при истинности A утверждение B обязательно истинно (нет ни одного случая, когда A верно, а B — нет).
• Различие между «может быть» и «обязательно есть»: если условие не запрещает какой-то вариант, это не значит, что он гарантированно выполняется. Утверждение верно, только если оно выполняется всегда, при любом раскладе, согласующемся с условием.
• Отрицание и обратное утверждение: если из А следует Б, то из «не Б» следует «не А» (закон контрапозиции). Но из А следует Б не означает, что из Б следует А (обратное утверждение может быть неверным).
• Сравнение по признаку «больше/меньше/дороже/дешевле»: если известно $a > b$ и $b > c$, то $a > c$ (транзитивность неравенств). Но если известны только отдельные независимые сравнения, нельзя сравнивать величины, которые не связаны цепочкой неравенств.
• Кванторы «все», «хотя бы один», «ни одного»: нужно чётко различать эти формулировки. «Все мальчики» — это утверждение про каждого; «хотя бы один» — про существование хотя бы одного случая; и эти утверждения проверяются по-разному.
• Условные конструкции «если…, то…»: утверждение вида «если А, то Б» (в логике записывается как $A \Rightarrow B$) истинно тогда, когда либо А ложно, либо Б истинно. Важно уметь строить логически эквивалентное утверждение — контрапозицию: $A \Rightarrow B$ равносильно $\neg B \Rightarrow \neg A$.
• Не путать необходимое и достаточное условие: из «А влечёт Б» не следует, что «Б влечёт А». Это частая ловушка в заданиях с текстами про животных, лай собак, свет в окнах и т. п.

Методы решения

Метод 1. Построение цепочки неравенств. Если в условии дано несколько сравнений величин (дороже/дешевле, больше/меньше), стоит выстроить их в единую цепочку или граф, чтобы понять, какие объекты сравнимы, а какие — нет. Пример: дано $b < c$ (доска дешевле магнитофона) и $b < d$ (доска дешевле стола). Тогда доска дешевле и магнитофона, и стола, но про сравнение магнитофона и стола ничего сказать нельзя — эти величины не связаны условием.

Метод 2. Проверка через контрапозицию. Если дано утверждение «если А, то Б», то логически эквивалентное ему — «если не Б, то не А». Само же утверждение «если не А, то не Б» (обратное отрицание) не обязательно верно. Пример: «Если кошка идёт по забору, то Шарик лает» ($A\Rightarrow B$). Отсюда следует: «Если Шарик не лает, то кошка не идёт по забору» ($\neg B \Rightarrow \neg A$) — верно. А утверждение «Если кошка не идёт, то Шарик не лает» — неверно, ведь Шарик мог залаять по другой причине.

Метод 3. Проверка утверждений про количество через сравнение сумм и долей. Если известно, что мальчиков родилось больше, чем девочек, и известно самое популярное имя среди мальчиков и среди девочек — можно сравнить количество носителей самых популярных имён у разных полов, но нельзя сравнивать количество носителей разных, не самых популярных имён внутри одной группы. Пример: мальчиков больше, чем девочек. Самое частое имя у мальчиков — Андрей, у девочек — Мария. Значит, Андреев минимум столько же, сколько в среднем на имя мальчика, а значит, больше нуля — то есть хотя бы один мальчик по имени Андрей точно есть.

Метод 4. Метод контрпримера (поиск опровергающего случая). Чтобы доказать, что утверждение НЕ следует из условия, достаточно придумать один пример, который условию не противоречит, но утверждение делает ложным. Пример: если условие говорит только «принтер дороже магнитофона», а утверждение гласит «принтер дороже доски», можно предположить: доска стоит дороже принтера, магнитофон дешевле обоих — это не противоречит условию, значит, утверждение не обязано быть верным (если это не подтверждается дополнительно другой цепочкой).

Метод 5. Разбор кванторов «все» и «хотя бы один». Если известно, что группа непустая (например, мальчики точно рождались) и у этой группы есть самое частое имя, то это имя обязательно встречается хотя бы у одного человека — иначе оно не могло бы быть «самым частым». Пример: если сказано, что «чаще всего мальчиков называли Андрей», то хотя бы один мальчик с именем Андрей существует — иначе бы не могло быть такого имени вообще, ведь тогда «самое частое» имя было бы неопределённым или нулевым.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и выписать все факты, которые оно даёт, в виде кратких символьных записей (неравенства, импликации, факты про количество).
2. Определить тип условия: сравнение величин, логическая импликация («если…, то…»), утверждение про количество/частоту.
3. Для сравнения величин построить цепочку неравенств или граф «кто с кем сравним».
4. Для условий-импликаций сформулировать контрапозицию — это часто и есть верное следствие.
5. По очереди проверить каждое из четырёх утверждений: попробовать логически вывести его из условия ИЛИ найти контрпример, который условию не противоречит, но делает утверждение ложным.
6. Утверждение засчитывается как верное только если контрпример построить невозможно, то есть оно следует из условия при любых допустимых вариантах.
7. Выбрать все подходящие утверждения (их количество в задании обычно равно двум, но всегда нужно проверить каждый из четырёх вариантов независимо).
8. Записать номера выбранных утверждений подряд, без разделителей, в любом порядке.

Разбор примеров

Пример 1.

Условие: в 2013 году в городе Z мальчиков родилось больше, чем девочек. Самое популярное имя среди мальчиков — Андрей, среди девочек — Мария.

Нужно проверить:

1. девочек с именем Мария больше, чем с именем Светлана;
2. мальчиков с именем Николай больше, чем с именем Аристарх;
3. хотя бы одного из родившихся мальчиков назвали Андреем;
4. мальчиков с именем Андрей больше, чем девочек с именем Мария.

Шаг 1. Разбираем утверждение 1. Мария — самое частое имя среди девочек, значит, по определению, количество девочек с именем Мария больше или равно количеству девочек с любым другим именем, в частности со Светланой. Здесь важно: «самое частое» означает, что ни одно другое имя не может встречаться чаще. Значит, Марий не может быть меньше, чем Светлан. Утверждение 1 верно.

Шаг 2. Утверждение 2 сравнивает имена Николай и Аристарх у мальчиков. Условие ничего не говорит про частоту этих конкретных имён — известно только самое частое имя (Андрей). Можно представить ситуацию, где Аристархов больше, чем Николаев (например, Аристарх — второе по популярности имя, а Николай вообще редкое). Это не противоречит условию. Значит, утверждение 2 не следует из условия.

Шаг 3. Утверждение 3: раз в 2013 году мальчики вообще рождались (иначе не было бы группы для сравнения) и самое частое имя среди мальчиков — Андрей, значит, хотя бы один мальчик с этим именем точно есть (иначе имя не могло бы быть «самым частым» — оно встречалось бы у нуля человек, что бессмысленно, если группа непустая). Утверждение 3 верно.

Шаг 4. Утверждение 4 сравнивает Андреев (среди мальчиков) и Марий (среди девочек) — из разных групп. Известно, что мальчиков больше, чем девочек, но это не значит, что самое популярное имя среди мальчиков встречается чаще, чем самое популярное имя среди девочек: может быть, у мальчиков имена распределены равномерно (много разных редких имён), а у девочек, наоборот, почти все зовутся Мария. Значит, утверждение 4 не следует из условия.

Итог: верны утверждения 1 и 3. Ответ: 13.

Пример 2.

Условие: принтер дороже магнитофона ($p > m$), доска дешевле магнитофона ($d < m$) и дешевле стола ($d < s$).

Нужно проверить:

1. магнитофон дешевле доски;
2. принтер дороже доски;
3. доска — самая дешёвая из покупок;
4. принтер и доска стоят одинаково.

Шаг 1. Записываем условие в виде неравенств: $p > m$, $d < m$, $d < s$.

Шаг 2. Утверждение 1 гласит $m < d$ — это прямо противоречит данному условию $d < m$. Утверждение 1 неверно.

Шаг 3. Утверждение 2: нужно сравнить $p$ и $d$. Из условия имеем $d < m$ и $m < p$ (переписав $p > m$). По транзитивности неравенств: $d < m < p$, значит $d < p$, то есть принтер дороже доски. Утверждение 2 верно.

Шаг 4. Утверждение 3: доска дешевле магнитофона и дешевле стола — это два из трёх других предметов. Осталось сравнить доску с принтером — но это мы уже сделали в шаге 3: $d < p$. Значит, доска дешевле всех остальных трёх предметов (магнитофона, стола и принтера), то есть действительно самая дешёвая. Утверждение 3 верно.

Шаг 5. Утверждение 4 говорит, что $p = d$ — но мы уже показали строгое неравенство $d < p$, значит равенство невозможно. Утверждение 4 неверно.

Итог: верны утверждения 2 и 3. Ответ: 23.

Пример 3.

Условие: если по забору идёт какая-нибудь кошка, то пёс Шарик обязательно лает. Формально: $A \Rightarrow B$, где $A$ — «по забору идёт кошка», $B$ — «Шарик лает».

Нужно проверить:

1. если Шарик не лает, значит, по забору идёт кошка;
2. если Шарик молчит, значит, кошка по забору не идёт;
3. если по забору идёт чёрная кошка, Шарик не лает;
4. если по забору пойдёт белая кошка, Шарик будет лаять.

Шаг 1. Формулируем контрапозицию исходного условия: из $A \Rightarrow B$ следует $\neg B \Rightarrow \neg A$, то есть «если Шарик НЕ лает, то кошка по забору НЕ идёт».

Шаг 2. Утверждение 1 гласит: «если Шарик не лает ($\neg B$), то кошка идёт ($A$)» — это утверждение $\neg B \Rightarrow A$, что не следует из исходного условия и, более того, противоречит логике (по контрапозиции должно быть наоборот — кошка НЕ идёт). Утверждение 1 неверно.

Шаг 3. Утверждение 2 гласит: «если Шарик молчит ($\neg B$), то кошка не идёт ($\neg A$)» — это в точности контрапозиция исходного условия, $\neg B \Rightarrow \neg A$. Утверждение 2 верно.

Шаг 4. Утверждение 3: условие говорит про «какую-нибудь» кошку — то есть про любую кошку, независимо от цвета. Значит, если по забору идёт чёрная кошка (это частный случай «какая-нибудь кошка идёт»), то по исходному правилу Шарик обязательно залает. Утверждение 3 говорит обратное — что Шарик НЕ залает, что противоречит условию. Утверждение 3 неверно.

Шаг 5. Утверждение 4: «если пойдёт белая кошка, Шарик залает» — белая кошка тоже является частным случаем «какой-нибудь кошки», поэтому по общему правилу $A \Rightarrow B$ Шарик обязательно залает. Утверждение 4 верно.

Итог: верны утверждения 2 и 4. Ответ: 24.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между прямым утверждением и обратным. Из «если А, то Б» школьники часто ошибочно делают вывод «если Б, то А» — это неверно в общем случае, верна только контрапозиция $\neg B \Rightarrow \neg A$.
• Сравнение несравнимых величин. Если в условии нет прямой или транзитивной цепочки между двумя объектами, их нельзя сравнивать — даже если кажется «логичным» по смыслу задачи.
• Игнорирование кванторов «хотя бы один» и «все». Утверждение с «хотя бы один» часто оказывается верным там, где утверждение со словом «все» — нет, и наоборот. Нужно точно смотреть на формулировку.
• Домысливание лишних деталей. В условии сказано только то, что сказано. Если про сравнение двух величин ничего явно или по цепочке не следует — утверждение не подходит, даже если оно «выглядит правдоподобно».
• Забывание про строгость неравенств. Если в условии строгое неравенство ($d < m$), утверждение о равенстве ($d = m$) всегда неверно.
• Проверка не всех четырёх утверждений. Иногда, найдя два «явно верных» варианта, школьники не проверяют оставшиеся два — а среди них может быть ещё одно подходящее, что приведёт к неполному или неверному ответу.

Как готовиться

Лучший способ подготовки — регулярно решать задания этого типа из разных тематических подборок: про сравнение цен, возрастов, роста; про логические цепочки «если-то» с животными, погодой, светофорами; про частоту имён, чисел, событий. Каждый раз после решения полезно не просто сверяться с ответом, а письменно объяснять себе, почему каждое из четырёх утверждений верно или неверно — это тренирует именно логическое обоснование, которое и требуется на экзамене.

Полезно завести для себя короткий список правил: транзитивность неравенств, контрапозиция для импликаций, работа с квантором «хотя бы один». Перед экзаменом стоит прогнать эти правила ещё раз как чек-лист.

Также важно приучить себя всегда искать контрпример для каждого утверждения, которое кажется «вроде бы верным, но не точно». Если контрпример найден — утверждение отбрасывается. Такой навык критичного отношения к собственным выводам — ключ к безошибочному решению задания 8.