Задание 7 ЕГЭ база: графики функций и производная — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 7 проверяет умение работать с графической информацией: читать график функции или её производной, определять знак и величину производной в точке, соотносить поведение функции (рост, убывание, знак) с поведением производной. По сути, это проверка понимания геометрического смысла производной — того, что производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, а знак производной показывает, растёт или убывает функция.

В задании нет сложных вычислений — вся информация считывается с рисунка. Успех зависит от аккуратности анализа графика и понимания связи между функцией и её производной.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, к которому проведены касательные в нескольких точках. Установите соответствие между точками и значениями производной в них».
• «На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Числа $a, b, c, d, e$ задают на оси $x$ несколько интервалов. Установите соответствие между интервалами и характеристиками функции или её производной».

Задание оценивается в 1 балл, ответ — это последовательность из четырёх цифр (например, 2143), записываемая без пробелов. Ошибка в одной цифре снимает весь балл, поэтому важно проверять каждую букву отдельно.

Что нужно знать

• Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке: $f'(x_0) = k$, где $k$ — коэффициент в уравнении касательной $y = kx + b$.
• Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Если касательная образует с положительным направлением оси $Ox$ острый угол, то $f'(x_0) > 0$; если тупой — $f'(x_0) < 0$; если касательная горизонтальна, $f'(x_0) = 0$.
• Если функция возрастает на интервале, то производная на этом интервале неотрицательна: $f'(x) \geq 0$.
• Если функция убывает на интервале, то производная на этом интервале неположительна: $f'(x) \leq 0$.
• В точках экстремума (максимума или минимума) производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$, если функция дифференцируема в этой точке.
• Знак функции (положительна или отрицательна) — это положение графика относительно оси $Ox$: выше оси — функция положительна, ниже — отрицательна.
• Знак производной — это направление изменения функции: производная положительна там, где график идёт «вверх» при движении слева направо, отрицательна — где «вниз».
• Чем круче касательная (чем больше угол наклона к оси $Ox$), тем больше по модулю значение производной.

Методы решения

Метод 1. Оценка угла наклона касательной для сравнения значений производной. Если на графике проведены несколько касательных, нужно визуально оценить угол наклона каждой к оси $Ox$. Чем ближе касательная к горизонтали, тем ближе производная к нулю. Чем ближе к вертикали — тем больше модуль производной.

Мини-пример: если в точке $K$ касательная почти вертикальна и направлена вверх, а в точке $L$ — почти горизонтальна, то $|f'(K)| \gg |f'(L)|$, и производная в $K$ по модулю значительно больше.

Метод 2. Вычисление углового коэффициента по двум точкам касательной. Если касательная проходит через две «удобные» узловые точки сетки, можно точно посчитать коэффициент: $k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

Мини-пример: касательная проходит через точки $(1, 2)$ и $(3, 8)$. Тогда $k = \dfrac{8-2}{3-1} = \dfrac{6}{2} = 3$, значит $f'(x_0) = 3$.

Метод 3. Определение знака производной по направлению изменения функции на интервале. Если на интервале график идёт вверх (при движении слева направо функция увеличивается), то $f'(x) > 0$ на этом интервале. Если график идёт вниз — $f'(x) < 0$.

Мини-пример: на интервале $(2, 5)$ график поднимается от значения $-1$ до значения $3$ — значит функция возрастает и производная на этом интервале положительна.

Метод 4. Анализ смены направления (экстремумов) внутри интервала. Если внутри интервала есть точка максимума или минимума, производная меняет знак: до экстремума одно значение, после — противоположное. Такие интервалы описываются как «производная положительна в начале и отрицательна в конце» (после максимума) или наоборот (после минимума).

Мини-пример: если на интервале $(b, c)$ график сначала растёт, достигает максимума в середине интервала, а потом убывает, то производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце.

Метод 5. Определение знака самой функции по положению графика относительно оси $Ox$. Нужно смотреть не на наклон, а на то, выше или ниже оси $Ox$ расположен график на всём интервале.

Мини-пример: если на интервале $(d, e)$ график целиком лежит ниже оси $Ox$, то функция отрицательна на всём этом интервале, независимо от того, растёт она или убывает.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, что дано на графике: сама функция $f(x)$ или её производная $f'(x)$. Это принципиально меняет логику анализа.
2. Если задача про касательные — для каждой точки визуально или по сетке определить угол наклона касательной и его знак (острый угол — положительная производная, тупой — отрицательная, горизонталь — ноль).
3. Если возможно, вычислить точное значение углового коэффициента по двум узловым точкам касательной, используя формулу $k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
4. Сравнить полученные значения (или оценки) со списком предложенных чисел и подобрать соответствие для каждой точки.
5. Если задача про интервалы — для каждого интервала определить: а) знак функции (выше или ниже оси $Ox$); б) поведение функции (возрастает, убывает, есть ли экстремум внутри).
6. Сопоставить полученные характеристики каждого интервала с предложенными вариантами ответа, исключая уже использованные варианты.
7. Записать итоговую последовательность цифр в порядке букв А, Б, В, Г без пробелов и лишних символов.
8. Проверить ответ: убедиться, что каждая буква получила ровно одно соответствие и все варианты логически согласуются с графиком.

Разбор примеров

Пример 1.

Условие: на графике функции проведены касательные в четырёх точках $K, L, M, N$. Нужно сопоставить каждой точке значение производной из списка: $-4$; $3$; $\dfrac{2}{3}$; $-0{,}5$.

Шаг 1. Для каждой точки анализируем угол наклона касательной.

Шаг 2. В точке $K$ касательная имеет большой отрицательный наклон — это резкое падение графика, значит производная сильно отрицательна. Из списка подходит значение $-4$ — оно самое большое по модулю среди отрицательных.

Шаг 3. В точке $L$ касательная имеет положительный, но умеренный наклон — не такой крутой, как максимальное значение в списке. Подходящее значение — $\dfrac{2}{3}$, так как оно положительное и небольшое.

Шаг 4. В точке $M$ касательная имеет самый крутой положительный наклон среди оставшихся вариантов — соответствует значению $3$.

Шаг 5. В точке $N$ касательная почти горизонтальна, но с небольшим отрицательным наклоном — соответствует значению $-0{,}5$.

Шаг 6. Составляем последовательность по буквам А (K), Б (L), В (M), Г (N): значения производной — $-4$; $\dfrac{2}{3}$; $3$; $-0{,}5$. Сопоставляя с номерами вариантов (1: $-4$, 2: $3$, 3: $\dfrac{2}{3}$, 4: $-0{,}5$), получаем последовательность номеров: $2, 1, 4, 3$.

Ответ: 2143.

Пример 2.

Условие: график функции $y = f(x)$ разбит точками $a, b, c, d, e$ на четыре интервала. Нужно сопоставить каждому интервалу характеристику: 1) производная отрицательна на всём интервале; 2) производная положительна в начале и отрицательна в конце; 3) функция отрицательна в начале и положительна в конце; 4) производная положительна на всём интервале.

Шаг 1. Рассматриваем интервал $(a; b)$: если график здесь монотонно убывает на всём протяжении, значит производная отрицательна везде — подходит характеристика 2, если внутри есть точка максимума (сначала растёт, потом убывает). По условию ответа для А подобрана характеристика 2 — значит на интервале $(a;b)$ есть переход от роста к убыванию (точка максимума внутри интервала).

Шаг 2. Интервал $(b; c)$: соответствует характеристике 1 — производная отрицательна на всём интервале, то есть график монотонно убывает без смены направления.

Шаг 3. Интервал $(c; d)$: соответствует характеристике 3 — функция меняет знак с отрицательного на положительный, то есть график пересекает ось $Ox$ снизу вверх внутри этого интервала.

Шаг 4. Интервал $(d; e)$: соответствует характеристике 4 — производная положительна на всём интервале, график монотонно возрастает.

Шаг 5. Составляем последовательность по буквам А, Б, В, Г: $2, 1, 3, 4$.

Ответ: 2134.

Пример 3.

Условие: график функции $y = f(x)$ разбит точками $a, b, c, d, e$ на четыре интервала. Характеристики: 1) значения функции положительны на всём интервале; 2) значения производной положительны на всём интервале; 3) значения функции отрицательны на всём интервале; 4) значения производной отрицательны на всём интервале.

Шаг 1. Интервал $(a; b)$: если график на всём этом промежутке расположен выше оси $Ox$, значит функция положительна везде — подходит характеристика 1.

Шаг 2. Интервал $(b; c)$: если на этом интервале график монотонно убывает (независимо от знака самой функции), это означает, что производная отрицательна на всём интервале — подходит характеристика 4.

Шаг 3. Интервал $(c; d)$: если график целиком лежит ниже оси $Ox$, функция отрицательна на всём интервале — подходит характеристика 3.

Шаг 4. Интервал $(d; e)$: если график монотонно возрастает на всём интервале, производная положительна везде — подходит характеристика 2.

Шаг 5. Составляем последовательность по буквам А, Б, В, Г: $1, 4, 3, 2$.

Ответ: 1432.

Во всех трёх примерах ключевой навык — умение отделять анализ знака функции (положение графика относительно оси $Ox$) от анализа знака производной (направление изменения графика, рост или убывание).

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между графиком функции и графиком производной. Если дан график $f'(x)$, а не $f(x)$, логика анализа полностью меняется: там, где производная выше оси — функция возрастает, а не «функция положительна».
• Путаница знака функции и знака производной. Часто ученики путают, положительна ли сама функция (график выше оси $Ox$), с тем, возрастает ли она (производная положительна). Это разные характеристики, и в задании их специально смешивают в вариантах ответа.
• Неучёт экстремумов внутри интервала. Если внутри интервала есть точка максимума или минимума, производная меняет знак, и характеристика «производная положительна (или отрицательна) на всём интервале» здесь не подходит — нужно искать вариант со сменой знака.
• Ошибка в оценке угла наклона касательной. Иногда крутизну касательной оценивают на глаз неверно, путая, какая из линий более пологая. Полезно мысленно (или по клеточкам сетки) находить хотя бы приблизительные координаты двух точек на касательной и считать коэффициент по формуле.
• Невнимательность к порядку букв в ответе. Легко перепутать порядок А, Б, В, Г при переносе ответа, особенно если анализ велся не по порядку слева направо.
• Использование одного и того же варианта дважды. В заданиях на соответствие каждый вариант используется ровно один раз (если их четыре и подходящих характеристик четыре) — если один вариант выбран для двух интервалов, значит где-то допущена ошибка в анализе.

Как готовиться

Для уверенного решения задания 7 стоит регулярно тренироваться на реальных графиках: брать любой график функции и вручную проводить касательные в разных точках, оценивая их угол наклона. Полезно тренировать быстрый переход между графиком функции и графиком её производной — рисовать эскиз производной по данному графику функции и наоборот.

Стоит закрепить формулу углового коэффициента касательной $k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ и научиться быстро находить на графике две узловые точки для расчёта. Важно проработать разные типы характеристик интервалов: знак функции, знак производной, монотонность, наличие экстремума внутри интервала — и для каждого типа сделать по несколько тренировочных заданий.

При решении пробных вариантов полезно каждый раз проверять себя вопросом: «Что здесь дано — функция или её производная?» и «Что спрашивают — про значение функции, про её знак или про поведение (рост/убывание)?». Такая привычка снижает количество ошибок из-за путаницы понятий. Регулярная практика с разбором собственных ошибок — самый надёжный путь к стабильному баллу за это задание.