Задание 7: Анализ графиков и диаграмм

Типичные формулировки:

• «На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, к которому проведены касательные в нескольких точках. Установите соответствие между точками и значениями производной в них».
• «На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Числа $a, b, c, d, e$ задают на оси $x$ несколько интервалов. Установите соответствие между интервалами и характеристиками функции или её производной».

…

• Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке: $f'(x_0) = k$, где $k$ — коэффициент в уравнении касательной $y = kx + b$.
• Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Если касательная образует с положительным направлением оси $Ox$ острый угол, то $f'(x_0) > 0$; если тупой — $f'(x_0) < 0$; если касательная горизонтальна, $f'(x_0) = 0$.
• Если функция возрастает на интервале, то производная на этом интервале неотрицательна: $f'(x) \geq 0$.
• Если функция убывает на интервале, то производная на этом интервале неположительна: $f'(x) \leq 0$.
• В точках экстремума (максимума или минимума) производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$, если функция дифференцируема в этой точке.
• Знак функции (положительна или отрицательна) — это положение графика относительно оси $Ox$: выше оси — функция положительна, ниже — отрицательна.
• Знак производной — это направление изменения функции: производная положительна там, где график идёт «вверх» при движении слева направо, отрицательна — где «вниз».
• Чем круче касательная (чем больше угол наклона к оси $Ox$), тем больше по модулю значение производной.

1. Определить, что дано на графике: сама функция $f(x)$ или её производная $f'(x)$. Это принципиально меняет логику анализа.
2. Если задача про касательные — для каждой точки визуально или по сетке определить угол наклона касательной и его знак (острый угол — положительная производная, тупой — отрицательная, горизонталь — ноль).
3. Если возможно, вычислить точное значение углового коэффициента по двум узловым точкам касательной, используя формулу $k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
4. Сравнить полученные значения (или оценки) со списком предложенных чисел и подобрать соответствие для каждой точки.
5. Если задача про интервалы — для каждого интервала определить: а) знак функции (выше или ниже оси $Ox$); б) поведение функции (возрастает, убывает, есть ли экстремум внутри). …