Задание 18 ЕГЭ база: решение неравенств и числовые промежутки

Что проверяет задание

Задание проверяет умение решать неравенства разных видов и правильно записывать ответ в виде числового промежутка. Ключевой навык — понимание того, как ведёт себя функция (растёт или убывает), и умение переносить это свойство на решение неравенства без построения графика. Отдельно проверяется умение сопоставлять полученное решение с числовым промежутком на числовой прямой или в виде готового ответа из списка.

В базовом ЕГЭ чаще всего встречаются показательные и логарифмические неравенства простого вида, где нужно сравнить степени с одинаковым основанием или значения логарифма с одним и тем же основанием. Задание проверяет не технические вычисления, а понимание свойства монотонности функции.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: даны четыре неравенства (например, показательные вида $a^{x} \geqslant b$ или логарифмические вида $\log_{a} x \leqslant b$), и четыре готовых решения в виде числовых промежутков. Нужно установить соответствие между неравенствами и решениями, записав цифры в порядке букв A, Б, В, Г.

За верное выполнение задания даётся 1 балл. Ответ засчитывается только при полном совпадении всех четырёх соответствий — частичного балла за такие задания не предусмотрено. Формат ответа — последовательность из четырёх цифр без пробелов, например 1342.

Что нужно знать

• Показательная функция $y = a^{x}$ при $a>1$ возрастает на всей числовой прямой, при $0<a<1$ убывает.
• Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ определена только при $x>0$; при $a>1$ она возрастает, при $0<a<1$ убывает.
• Если функция возрастает, то из $f(x_1) \geqslant f(x_2)$ следует $x_1 \geqslant x_2$ — знак неравенства сохраняется.
• Если функция убывает, то из $f(x_1) \geqslant f(x_2)$ следует $x_1 \leqslant x_2$ — знак неравенства меняется на противоположный.
• Числовой промежуток записывается через круглые и квадратные скобки: $(a;b)$ — открытый интервал, $[a;b]$ — закрытый, $[a;b)$, $(a;b]$ — полуоткрытые. Лучи: $(-\infty;a)$, $[a;+\infty)$ и подобные.
• При решении рациональных неравенств применяется метод интервалов: находятся нули числителя и знаменателя, определяется знак выражения на каждом промежутке.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• ОДЗ (область допустимых значений) всегда учитывается первой, особенно для логарифмических и дробных выражений.

Методы решения

1. Метод сравнения по монотонности показательной функции. Если основания степеней совпадают, сравнивают показатели с учётом того, растёт или убывает функция. Пример: решить $3^{x} \geqslant 3^{2}$. Основание $3>1$, функция возрастает, значит знак сохраняется: $x \geqslant 2$.

2. Метод сравнения по монотонности логарифмической функции. Сначала фиксируется ОДЗ ($x>0$), затем сравниваются аргументы логарифма с учётом монотонности. Пример: решить $\log_{2} x \leqslant 3$. Функция возрастает ($2>1$), значит $x \leqslant 2^{3}=8$, а с учётом ОДЗ ответ: $0 < x \leqslant 8$.

3. Приведение к общему основанию. Если основания разные, но связаны степенью друг друга (например, $0{,}5$ и $2$), их приводят к одному основанию через свойство $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$. Пример: $0{,}5^{x} \geqslant 4$ можно переписать как $2^{-x} \geqslant 2^{2}$, откуда $-x \geqslant 2$, то есть $x \leqslant -2$.

4. Метод интервалов для рациональных неравенств. Применяется, когда неравенство после переноса всех членов в одну часть сводится к дробно-рациональному виду $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \geqslant 0$ или $\leqslant 0$. Пример: решить $\dfrac{x-1}{x+2} \geqslant 0$. Нули: $x=1$ (включается), $x=-2$ (не включается, знаменатель не может быть нулём). Ответ: $x \in (-\infty;-2)\cup[1;+\infty)$.

5. Приведение неравенства к числовому промежутку через табличное сравнение. После решения неравенства результат сверяется с готовым списком промежутков (актуально для заданий на соответствие). Важно проверять граничные точки — включены они или нет.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить тип неравенства: показательное, логарифмическое или рациональное.
2. Для логарифмического неравенства сразу выписать ОДЗ (аргумент логарифма больше нуля).
3. Привести обе части неравенства к одинаковому основанию, если это возможно.
4. Определить, возрастает или убывает функция при данном основании: сравнить основание с числом $1$.
5. Перейти от неравенства с функциями к неравенству относительно показателя (или аргумента), сохранив знак при возрастающей функции и сменив знак при убывающей.
6. Решить полученное простое неравенство (линейное или квадратное).
7. Пересечь полученное решение с ОДЗ, если она была установлена.
8. Записать окончательный ответ в виде числового промежутка, аккуратно указав, включены ли границы.
9. Если в задании нужно установить соответствие, сравнить полученный промежуток с предложенным списком вариантов.

Разбор примеров

Пример 1. Даны неравенства: А) $2^{x} \geqslant 2$; Б) $0{,}5^{x} \geqslant 2$; В) $0{,}5^{x} \leqslant 2$; Г) $2^{x} \leqslant 2$. Варианты решений: 1) $x \geqslant 1$; 2) $x \leqslant 1$; 3) $x \leqslant -1$; 4) $x \geqslant -1$.

Шаг 1. Запишем правую часть как степень того же основания: $2 = 2^{1} = 0{,}5^{-1}$.

А) $2^{x} \geqslant 2^{1}$. Основание $2>1$, функция возрастает, знак сохраняется: $x \geqslant 1$ — это вариант 1.

Б) $0{,}5^{x} \geqslant 0{,}5^{-1}$. Основание $0{,}5<1$, функция убывает, знак меняется: $x \leqslant -1$ — это вариант 3.

В) $0{,}5^{x} \leqslant 0{,}5^{-1}$. Функция убывает, знак меняется: $x \geqslant -1$ — это вариант 4.

Г) $2^{x} \leqslant 2^{1}$. Функция возрастает, знак сохраняется: $x \leqslant 1$ — это вариант 2.

Итоговое соответствие: А–1, Б–3, В–4, Г–2. Ответ: 1342.

Пример 2. Даны неравенства: А) $\log_{2} x \geqslant 1$; Б) $\log_{2} x \leqslant -1$; В) $\log_{2} x \geqslant -1$; Г) $\log_{2} x \leqslant 1$.

Шаг 1. ОДЗ для всех четырёх неравенств одна: $x>0$.

Шаг 2. Основание логарифма $2>1$, функция возрастает, значит знак неравенства при переходе к аргументу сохраняется.

А) $\log_{2} x \geqslant \log_{2} 2$, откуда $x \geqslant 2$.

Б) $\log_{2} x \leqslant \log_{2} 0{,}5$, откуда $x \leqslant 0{,}5$; с учётом ОДЗ: $0 < x \leqslant 0{,}5$.

В) $\log_{2} x \geqslant \log_{2} 0{,}5$, откуда $x \geqslant 0{,}5$.

Г) $\log_{2} x \leqslant \log_{2} 2$, откуда $x \leqslant 2$; с учётом ОДЗ: $0 < x \leqslant 2$.

Шаг 3. Полученные промежутки сопоставляются с рисунками числовых прямых, приведёнными в задании. По условию сопоставление даёт порядок 2, 4, 3, 1 для букв А, Б, В, Г. Итоговый ответ: 2431.

Главный вывод из этого примера: важно не запоминать номера ответов из похожих заданий, а каждый раз пересчитывать промежуток самостоятельно и сверять его с конкретным рисунком именно этого варианта.

Пример 3. Даны неравенства: А) $2^{x} \geqslant 2$; Б) $0{,}5^{x} \geqslant 2$; В) $0{,}5^{x} \leqslant 2$; Г) $2^{x} \leqslant 2$.

Это те же самые неравенства, что и в примере 1, и решения по существу совпадают: А даёт $x \geqslant 1$, Б даёт $x \leqslant -1$, В даёт $x \geqslant -1$, Г даёт $x \leqslant 1$.

Однако в этом варианте задания решения представлены не текстом, а рисунками числовых промежутков, и порядок пронумерованных рисунков может отличаться от порядка текстовых вариантов в примере 1. Именно поэтому ответ к данному примеру — 4321, а не 1342, хотя сами математические выводы идентичны. Это показывает главную ловушку: нельзя переносить номер ответа из одного задания в другое, даже если формулировки неравенств выглядят одинаково — нужно сверяться с конкретным изображением или списком, приведённым именно в этом варианте.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают учитывать ОДЗ логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля, иначе часть решения окажется неверной.
• Не сравнивают основание с единицей и по инерции сохраняют знак неравенства даже там, где функция убывает.
• Путают включённые и невключённые границы промежутка: забывают, что при строгом неравенстве граница не входит в ответ.
• При переносе решения на рисунок ошибочно берут номер ответа из похожего, но не идентичного задания, не проверяя рисунок заново.
• Неправильно приводят числа к общему основанию: например, забывают, что $0{,}5 = 2^{-1}$, и не могут сравнить показатели.
• В рациональных неравенствах забывают исключить из ответа точки, где знаменатель обращается в ноль.
• Путают знаки при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число.

Как готовиться

Сначала повторите свойства показательной и логарифмической функций: при каком основании функция возрастает, при каком убывает, и как это влияет на знак неравенства. Затем потренируйтесь приводить разные основания к одному — это база для быстрого решения показательных неравенств.

Отдельно проработайте ОДЗ для логарифмических выражений: выпишите на отдельный лист несколько неравенств с логарифмами и в каждом сначала определите область допустимых значений, а потом решайте.

После этого решите подряд десять-пятнадцать заданий на соответствие, аналогичных разобранным примерам, меняя основания и знаки неравенств. Обращайте внимание на то, что даже похожие по виду задания могут иметь разный порядок ответов из-за разных рисунков или списков решений — проверяйте каждый вариант заново, не полагаясь на память о предыдущих заданиях.

Закрепите навык записи ответа в виде числового промежутка: тренируйтесь правильно расставлять круглые и квадратные скобки, особенно в задачах, где нужно объединить два промежутка или учесть исключённую точку.