Задание 18: Неравенства

Типичная формулировка: даны четыре неравенства (например, показательные вида $a^{x} \geqslant b$ или логарифмические вида $\log_{a} x \leqslant b$), и четыре готовых решения в виде числовых промежутков. Нужно установить соответствие между неравенствами и решениями, записав цифры в порядке букв A, Б, В, Г.

За верное выполнение задания даётся 1 балл. Ответ засчитывается только при полном совпадении всех четырёх соответствий — частичного балла за такие задания не предусмотрено. Формат ответа — последовательность из четырёх цифр без пробелов, например 1342.

• Показательная функция $y = a^{x}$ при $a>1$ возрастает на всей числовой прямой, при $0<a<1$ убывает.
• Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ определена только при $x>0$; при $a>1$ она возрастает, при $0<a<1$ убывает.
• Если функция возрастает, то из $f(x_1) \geqslant f(x_2)$ следует $x_1 \geqslant x_2$ — знак неравенства сохраняется.
• Если функция убывает, то из $f(x_1) \geqslant f(x_2)$ следует $x_1 \leqslant x_2$ — знак неравенства меняется на противоположный.
• Числовой промежуток записывается через круглые и квадратные скобки: $(a;b)$ — открытый интервал, $[a;b]$ — закрытый, $[a;b)$, $(a;b]$ — полуоткрытые. Лучи: $(-\infty;a)$, $[a;+\infty)$ и подобные.
• При решении рациональных неравенств применяется метод интервалов: находятся нули числителя и знаменателя, определяется знак выражения на каждом промежутке.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• ОДЗ (область допустимых значений) всегда учитывается первой, особенно для логарифмических и дробных выражений.

1. Определить тип неравенства: показательное, логарифмическое или рациональное.
2. Для логарифмического неравенства сразу выписать ОДЗ (аргумент логарифма больше нуля).
3. Привести обе части неравенства к одинаковому основанию, если это возможно.
4. Определить, возрастает или убывает функция при данном основании: сравнить основание с числом $1$.
5. Перейти от неравенства с функциями к неравенству относительно показателя (или аргумента), сохранив знак при возрастающей функции и сменив знак при убывающей.
6. Решить полученное простое неравенство (линейное или квадратное).
7. Пересечь полученное решение с ОДЗ, если она была установлена.
8. Записать окончательный ответ в виде числового промежутка, аккуратно указав, включены ли границы.
9. Если в задании нужно установить соответствие, сравнить полученный промежуток с предложенным списком вариантов.