Задание 9 ЕГЭ по информатике: работа с электронными таблицами

Что проверяет задание

Задание 9 проверяет умение работать с большими массивами данных в электронных таблицах: строить формулы с условиями, использовать функции подсчёта и фильтрации, а также применять математические критерии (неравенство треугольника, теорему косинусов, соотношения площадей) к числовым данным, хранящимся в файле.

Основная сложность не в математике, а в том, чтобы правильно перевести словесное условие в формулу электронной таблицы и корректно применить её к тысячам строк данных. Ошибка в одной логической связке (например, использование ИЛИ вместо И) даёт неверный ответ на весь массив.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

В условии дают файл электронной таблицы (обычно xlsx), где каждая строка содержит набор из двух или трёх натуральных чисел — это могут быть стороны треугольника, ребра параллелепипеда, координаты точек или иные числовые характеристики. Требуется определить, сколько строк удовлетворяет заданному условию: являются сторонами треугольника определённого вида, образуют фигуру с заданным свойством площади, объёма и так далее.

Ответ — целое число, которое нужно ввести без дополнительных символов. Задание оценивается в 1 балл, относится к базовому уровню сложности, но требует уверенного владения функциями таблиц (СЧЁТЕСЛИМН, И, ИЛИ, ЕСЛИ) и точного применения математических неравенств.

Что нужно знать

• Неравенство треугольника: для сторон $a$, $b$, $c$ треугольник существует, если одновременно выполняются $a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше наибольшей.
• Признак остроугольного треугольника: если $c$ — наибольшая сторона, треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда $a^2+b^2>c^2$ (следствие теоремы косинусов: угол против большей стороны острый, если квадрат этой стороны меньше суммы квадратов других двух).
• Признак прямоугольного треугольника: $a^2+b^2=c^2$, где $c$ — наибольшая сторона.
• Признак тупоугольного треугольника: $a^2+b^2<c^2$.
• Площадь грани прямоугольного параллелепипеда с ребрами $a$, $b$, $c$: три грани, сходящиеся в одной вершине, имеют площади $S_1=ab$, $S_2=bc$, $S_3=ac$.
• Функция СЧЁТЕСЛИМН считает количество строк, удовлетворяющих нескольким условиям одновременно (логическое И).
• Функция ЕСЛИ с вложенными логическими функциями И, ИЛИ позволяет реализовать более сложные условия, которые не сводятся к простому диапазону значений.
• Функция МАКС и МИН помогают определить наибольшее и наименьшее из трёх чисел в строке, что упрощает построение формул для неравенств.
• Автозаполнение формулы вниз по столбцу применяет её ко всем строкам массива данных, что критично для больших таблиц.

Методы решения

Метод 1. Прямая проверка неравенства через вспомогательный столбец. В отдельный столбец записывается формула, которая возвращает 1 при выполнении условия и 0 в противном случае, затем считается сумма столбца. Пример: для проверки неравенства треугольника при числах в столбцах A, B, C формула в D2 выглядит так: =ЕСЛИ(И(A2+B2>C2;A2+C2>B2;B2+C2>A2);1;0), далее протягивается вниз, а итог считается через СУММ(D:D).

Метод 2. Использование МАКС и МИН для сокращения условия. Вместо трёх неравенств для проверки существования треугольника достаточно одного: сумма двух меньших сторон больше наибольшей. Формула: =ЕСЛИ(МАКС(A2:C2)<СУММ(A2:C2)-МАКС(A2:C2);1;0). Это упрощает запись и снижает риск ошибки в логике И.

Метод 3. Проверка вида угла через квадраты сторон. Для остроугольного или тупоугольного треугольника нужно сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов остальных. Формула: =ЕСЛИ(МАКС(A2:C2)^2<СУММ(A2:C2^2)-МАКС(A2:C2)^2;1;0) — но проще явно определить наибольшую сторону через ЕСЛИ или отдельные вспомогательные столбцы с квадратами.

Метод 4. Работа с площадями граней параллелепипеда. Считаются три произведения попарных ребер (площади граней), затем сравниваются суммы по условию задачи через логические функции. Пример: =ЕСЛИ(ИЛИ(A2B2+B2C2<A2C2;A2B2+A2C2<B2C2;B2C2+A2C2<A2*B2);1;0) — проверка, есть ли среди трёх граней такая, что сумма двух других меньше неё.

Метод 5. Массивные формулы СЧЁТЕСЛИМН для простых диапазонных условий. Если условие сводится к сравнению значений столбцов без сложной логики (например, A>B и B<C), можно обойтись без вспомогательного столбца: =СЧЁТЕСЛИМН(A:A;">"&B:B) — но такая форма работает ограниченно, поэтому чаще применяют явный вспомогательный столбец с ЕСЛИ, что надёжнее для сложных условий.

Алгоритм решения по шагам

1. Открыть файл электронной таблицы, оценить структуру данных: сколько столбцов, что они означают, сколько строк с данными.
2. Перевести словесное условие задачи в точную математическую формулировку — неравенство или систему неравенств.
3. Определить, какое из чисел в строке является наибольшим (если это важно для условия), используя функцию МАКС или явное сравнение через ЕСЛИ.
4. Записать формулу проверки условия в первую свободную ячейку рядом с данными, используя логические функции И, ИЛИ, ЕСЛИ.
5. Протянуть формулу автозаполнением на весь диапазон данных до последней строки таблицы.
6. Посчитать сумму столбца с результатами проверки (СУММ) или использовать СЧЁТЕСЛИ по этому столбцу для подсчёта единиц.
7. Сверить полученное число со здравым смыслом: оно должно быть меньше общего количества строк и не равно нулю или максимуму без явной причины.
8. Записать итоговое число в бланк ответа без дополнительных символов и пробелов.

Разбор примеров

Пример 1. В файле электронной таблицы в каждой строке даны три натуральных числа — стороны треугольника. Нужно найти, сколько троек удовлетворяет неравенству треугольника.

Шаг 1. Условие существования треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$: сумма любых двух сторон больше третьей. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше наибольшей, поскольку остальные неравенства автоматически выполняются при упорядоченных сторонах.

Шаг 2. Пусть данные находятся в столбцах A, B, C, начиная со второй строки. В столбец D записываем формулу: =ЕСЛИ(МАКС(A2:C2)<A2+B2+C2-МАКС(A2:C2);1;0). Здесь A2+B2+C2-МАКС(A2:C2) — это сумма двух оставшихся сторон после вычитания наибольшей.

Шаг 3. Формула протягивается на весь диапазон данных вниз до последней строки таблицы.

Шаг 4. В любой свободной ячейке считаем сумму столбца D: =СУММ(D2:D...), где вместо точек — номер последней строки данных.

Шаг 5. Результат подсчёта — количество троек, удовлетворяющих неравенству треугольника. Итоговый ответ для этого файла: 2453.

Пример 2. В таблице те же тройки натуральных чисел, но теперь нужно определить, сколько из них могут быть сторонами остроугольного треугольника.

Шаг 1. Сначала тройка должна вообще образовывать треугольник (неравенство треугольника), затем нужно проверить условие остроугольности: если $c$ — наибольшая сторона, треугольник остроугольный при $a^2+b^2>c^2$.

Шаг 2. В столбец D записываем формулу для проверки существования треугольника, как в примере 1: =ЕСЛИ(МАКС(A2:C2)<A2+B2+C2-МАКС(A2:C2);1;0).

Шаг 3. В столбец E записываем формулу для проверки остроугольности через квадраты. Наибольшую сторону обозначим через МАКС(A2:C2), сумму квадратов всех трёх сторон — через A2^2+B2^2+C2^2. Тогда сумма квадратов двух оставшихся сторон равна A2^2+B2^2+C2^2-МАКС(A2:C2)^2. Формула: =ЕСЛИ(МАКС(A2:C2)^2<A2^2+B2^2+C2^2-МАКС(A2:C2)^2;1;0).

Шаг 4. В столбец F записываем произведение условий: =ЕСЛИ(И(D2=1;E2=1);1;0), чтобы учитывались только те тройки, которые одновременно образуют треугольник и являются остроугольными.

Шаг 5. Протягиваем формулы на весь диапазон и считаем сумму столбца F: =СУММ(F2:F...).

Шаг 6. Полученное число — количество троек, которые могут быть сторонами остроугольного треугольника. В данном случае ответ равен 1074, что заметно меньше общего числа треугольных троек, поскольку остроугольность — более строгое условие.

Пример 3. В таблице записаны тройки натуральных чисел — длины трёх взаимно перпендикулярных рёбер прямоугольного параллелепипеда. Нужно определить, для скольких троек можно выбрать три грани с общей вершиной так, что сумма площадей двух из них меньше площади третьей.

Шаг 1. У прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$ через одну вершину проходят три грани с площадями $S_1=ab$, $S_2=bc$, $S_3=ac$. Нужно проверить, существует ли среди этих трёх площадей такая, что сумма двух других меньше неё — это условие является аналогом нарушения неравенства треугольника, но применённым к площадям.

Шаг 2. Пусть рёбра записаны в столбцах A, B, C. В столбец D вычисляем площадь первой грани: =A2B2. В столбец E — площадь второй грани: =B2C2. В столбец F — площадь третьей грани: =A2*C2.

Шаг 3. В столбец G проверяем условие: существует хотя бы одна грань, у которой площадь больше суммы площадей двух других. Формула: =ЕСЛИ(ИЛИ(D2>E2+F2;E2>D2+F2;F2>D2+E2);1;0).

Шаг 4. Протягиваем формулы столбцов D, E, F, G на весь диапазон данных вниз до последней строки.

Шаг 5. Считаем сумму столбца G: =СУММ(G2:G...). Это и есть количество троек, для которых выполняется требуемое условие.

Шаг 6. Для рассматриваемого файла итоговый ответ составляет 3119. Важно заметить, что здесь используется строгое неравенство и функция ИЛИ, а не И, поскольку достаточно найти хотя бы одну подходящую грань, а не проверять все три одновременно.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между И и ИЛИ: в задачах на существование треугольника нужно И (все три неравенства должны выполняться одновременно), а в задачах на существование хотя бы одной подходящей грани или угла — ИЛИ.
• Использование нестрогого неравенства вместо строгого или наоборот: важно внимательно читать формулировку — «меньше» и «не больше» дают разные множества решений.
• Ошибка в определении наибольшего числа тройки: если использовать конкретный столбец (например, всегда C) как наибольшую сторону без проверки через МАКС, результат будет неверным, поскольку порядок чисел в столбцах не гарантированно упорядочен.
• Неверный диапазон протягивания формулы: если формула не доведена до последней строки данных, часть строк не учитывается, и итоговая сумма получается заниженной.
• Забытые скобки при возведении в квадрат или при вычитании суммы: формула вида A2^2+B2^2-C2^2 без правильной группировки может дать иной результат, чем задумано.
• Смешение условий разных примеров: неравенство треугольника и признак остроугольности — разные условия, их нельзя проверять одной и той же формулой.
• Округление или использование текстовых данных вместо числовых: если исходные данные распознаны таблицей как текст, арифметические формулы работать не будут, необходимо проверить формат ячеек.

Как готовиться

Практика с реальными файлами электронных таблиц — основной способ подготовки к этому заданию. Полезно решить не менее 10–15 вариантов с разными условиями: неравенство треугольника, остроугольность, тупоугольность, соотношения площадей и объёмов, чтобы автоматизировать перевод словесного условия в формулу.

Стоит регулярно тренироваться в написании вложенных логических формул с ЕСЛИ, И, ИЛИ, МАКС, МИН, СУММ и СЧЁТЕСЛИ — эти функции покрывают почти все варианты задания 9. Полезно проверять формулы на небольшом наборе данных вручную перед применением к тысячам строк, чтобы убедиться в правильности логики до масштабирования решения.

Рекомендуется вести список типовых формул с комментариями — что именно они проверяют, — чтобы на экзамене быстро подобрать нужный шаблон под конкретную формулировку. Также важно каждый раз перепроверять итоговое число на разумность: сравнивать его с общим количеством строк таблицы, чтобы избежать грубых арифметических или логических ошибок при переносе ответа в бланк.