Задание 24 ЕГЭ по физике: термодинамика, МКТ, тепловой баланс

Что проверяет задание

Задание 24 — расчётная задача высокого уровня сложности по молекулярной физике и термодинамике. Она проверяет умение:

• применять уравнение состояния идеального газа $pV=\nu RT$ в статике и в процессах;
• пользоваться первым началом термодинамики $Q=\Delta U+A$ для разных процессов (изохорный, изобарный, изотермический, адиабатный);
• составлять уравнение теплового баланса при контакте тел или газов с разными температурами;
• анализировать механическое равновесие тел (в том числе газовых систем, воздушных шаров, поршней) с учётом силы тяжести, давления, силы Архимеда;
• вычислять работу газа, изменение внутренней энергии, КПД тепловых машин.

Задача не сводится к одной формуле — требуется выстроить цепочку рассуждений: физическая модель → уравнения → алгебраические преобразования → численный ответ. Именно поэтому она относится к заданиям высокого уровня.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание 24 идёт без готовых числовых данных в виде «подставь и посчитай» — обычно это текстовая задача с описанием физической ситуации (воздушный шар, цилиндр с поршнем, два сосуда газа, тепловая машина). Условие может включать графики или словесное описание процесса. Ответ — числовое значение физической величины (масса, отношение энергий, КПД, температура и т.п.).

Задание оценивается в 3 балла. Критерии обычно таковы:

• 1 балл — за верно записанные исходные физические законы и уравнения, соответствующие условию, даже если решение не доведено до конца;
• 2 балла — за правильный ход решения с несущественной ошибкой, не влияющей на логику;
• 3 балла — за полностью верное решение с правильным числовым ответом.

Важно: баллы снижаются не только за арифметические ошибки, но и за неверные физические предположения (например, неверное применение закона сохранения энергии там, где система не изолирована).

Что нужно знать

• Уравнение состояния идеального газа: $pV=\nu RT=\dfrac{m}{M}RT$.
• Плотность газа через уравнение состояния: $\rho=\dfrac{pM}{RT}$.
• Внутренняя энергия идеального газа: $U=\dfrac{i}{2}\nu RT$, где $i=3$ для одноатомного газа, $i=5$ для двухатомного.
• Первое начало термодинамики: $Q=\Delta U+A$, где $A$ — работа газа против внешних сил.
• Работа газа в изобарном процессе: $A=p\Delta V$.
• Работа газа в изотермическом процессе: $A=\nu RT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$.
• В изохорном процессе $A=0$, вся теплота идёт на изменение внутренней энергии: $Q=\Delta U$.
• В адиабатном процессе $Q=0$, значит $A=-\Delta U$.
• Уравнение теплового баланса при отсутствии потерь: $\sum Q_{отдано}=\sum Q_{получено}$, то есть $\sum c_i m_i (T_i-T)=0$ для теплообмена без изменения агрегатного состояния.
• КПД тепловой машины: $\eta=\dfrac{A}{Q_{нагр}}=1-\dfrac{Q_{хол}}{Q_{нагр}}$; КПД идеальной машины Карно: $\eta=1-\dfrac{T_{хол}}{T_{нагр}}$.
• Условие механического равновесия тела в жидкости или газе (закон Архимеда): подъёмная сила равна весу вытесненного газа/жидкости: $F_A=\rho_{среды}Vg$.
• Условие равновесия подвижного поршня без трения: давления газа по обе стороны равны, $p_1=p_2$.
• Для сферы: площадь $S=4\pi R^2$, объём $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Молярные массы: воздух $M\approx0{,}029$ кг/моль, гелий $M_{He}=0{,}004$ кг/моль, аргон $M_{Ar}=0{,}040$ кг/моль.

Методы решения

1. Метод условия равновесия (воздушные шары, тела в газе). Составляется баланс сил: подъёмная сила Архимеда уравновешивает суммарный вес оболочки, груза и газа внутри. Пример: шар «начинает подниматься», когда $\rho_{возд}Vg=(m_{об}+m_{газа})g$ — отсюда находят неизвестную массу или радиус.

2. Метод сравнения плотностей через уравнение состояния. Если газы находятся при одинаковых $p$ и $T$, отношение их плотностей равно отношению молярных масс: $\dfrac{\rho_1}{\rho_2}=\dfrac{M_1}{M_2}$. Это позволяет обойтись без вычисления абсолютных значений плотности. Пример: сравнение плотности воздуха и гелия при одинаковых условиях сразу даёт коэффициент $7{,}25$.

3. Метод применения первого начала термодинамики к конкретному процессу. Определяется тип процесса (изохорный, изобарный, изотермический, адиабатный), из уравнения $Q=\Delta U+A$ вычисляется искомая величина. Пример: газ изобарно нагревается — работа $A=p\Delta V=\nu R\Delta T$, теплота $Q=\dfrac{i+2}{2}\nu R\Delta T$.

4. Метод теплового баланса в изолированной системе. Если система в целом не обменивается энергией с внешней средой (теплоизолированный сосуд, отсутствие внешней работы), сумма изменений внутренних энергий частей системы равна нулю: $\Delta U_1+\Delta U_2=0$. Это ключевой приём для задач с двумя газами, разделёнными теплопроводным поршнем.

5. Метод расчёта КПД через отношение теплот или температур. Для циклических процессов КПД находится как $\eta=\dfrac{A_{цикла}}{Q_{получ}}$; для идеализированного цикла между двумя температурами — через формулу Карно. Пример: если машина получает $300$ Дж и совершает работу $90$ Дж, то $\eta=0{,}3=30\%$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и выделить физическую систему: сколько тел/газов, какие процессы происходят, есть ли теплоизоляция, подвижные элементы, внешние силы.
2. Определить, какие величины сохраняются: полная энергия системы, количество вещества, суммарный объём.
3. Записать уравнения состояния для каждого газа/тела в начальном и конечном состоянии.
4. Если есть равновесие сил (шар, поршень) — записать условие равновесия отдельным уравнением.
5. Если есть теплообмен — записать первое начало термодинамики или уравнение теплового баланса.
6. Выразить неизвестные величины через известные, используя алгебраические преобразования (часто удобно работать с отношениями величин, а не с абсолютными значениями).
7. Подставить числовые данные, перевести единицы в СИ (температуру — в Кельвины, давление — в Паскали).
8. Проверить размерность и порядок величины полученного ответа — он должен быть физически разумным.

Разбор примеров

Пример 1. Оболочку шара делают из материала с поверхностной плотностью $\sigma=2\ \text{кг/м}^2$. Шар наполнен гелием при давлении $p=10^5$ Па и температуре $T=273$ К (совпадает с температурой окружающего воздуха). Найти минимальную массу оболочки, при которой шар начинает подниматься сам.

Шаг 1. Условие подъёма — равенство подъёмной силы Архимеда весу всей конструкции (оболочка + гелий внутри): $$\rho_{возд}Vg=(m_{об}+m_{He})g.$$

Шаг 2. Масса гелия внутри шара при тех же $p$ и $T$, что снаружи: $m_{He}=\rho_{He}V$. Тогда: $$m_{об}=V(\rho_{возд}-\rho_{He}).$$

Шаг 3. Масса оболочки также выражается через площадь сферы: $m_{об}=\sigma S=\sigma\cdot4\pi R^2$.

Шаг 4. Приравниваем два выражения для $m_{об}$, используя $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$: $$\sigma\cdot4\pi R^2=\dfrac{4}{3}\pi R^3(\rho_{возд}-\rho_{He}) \Rightarrow R=\dfrac{3\sigma}{\rho_{возд}-\rho_{He}}.$$

Шаг 5. Находим плотности по формуле $\rho=\dfrac{pM}{RT}$: $$\rho_{возд}=\frac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot273}\approx1{,}28\ \text{кг/м}^3,\quad \rho_{He}=\frac{10^5\cdot0{,}004}{8{,}31\cdot273}\approx0{,}176\ \text{кг/м}^3.$$

Шаг 6. Разность плотностей: $\Delta\rho\approx1{,}10\ \text{кг/м}^3$. Тогда: $$R=\frac{3\cdot2}{1{,}10}\approx5{,}45\ \text{м}.$$

Шаг 7. Площадь сферы: $S=4\pi R^2\approx372{,}8\ \text{м}^2$. Масса оболочки: $$m_{об}=\sigma S\approx2\cdot372{,}8\approx745\ \text{кг}.$$

Ответ: $m\approx745$ кг.

Пример 2. Оболочка шара имеет массу $m_{об}=400$ кг, шар наполнен гелием и удерживает груз $m_{гр}=225$ кг при $T=290$ К, $p=10^5$ Па. Найти массу гелия.

Шаг 1. Условие равновесия (шар не падает и не поднимается — «может удерживать»): $$\rho_{возд}Vg=(m_{об}+m_{гр}+m_{He})g.$$

Шаг 2. Так как $m_{He}=\rho_{He}V$, выразим $V=\dfrac{m_{He}}{\rho_{He}}$ и подставим: $$\rho_{возд}\frac{m_{He}}{\rho_{He}}=m_{об}+m_{гр}+m_{He}.$$

Шаг 3. Перегруппируем: $$m_{He}\left(\frac{\rho_{возд}}{\rho_{He}}-1\right)=m_{об}+m_{гр}.$$

Шаг 4. При одинаковых $p$ и $T$ отношение плотностей равно отношению молярных масс: $$\frac{\rho_{возд}}{\rho_{He}}=\frac{M_{возд}}{M_{He}}=\frac{29}{4}=7{,}25.$$

Шаг 5. Подставляем числа: $$m_{He}(7{,}25-1)=400+225=625 \Rightarrow m_{He}=\frac{625}{6{,}25}=100\ \text{кг}.$$

Ответ: $m_{He}=100$ кг.

Пример 3. Теплоизолированный цилиндр разделён подвижным теплопроводным поршнем на гелий ($T_1=300$ К) и аргон ($T_2=900$ К), объёмы газов одинаковы, поршень в равновесии. Найти отношение внутренней энергии гелия после установления теплового равновесия к начальной.

Шаг 1. Поршень в равновесии без трения означает равенство давлений: $p_{He}=p_{Ar}$. По уравнению состояния при одинаковом объёме $V$: $$\frac{\nu_{He}RT_1}{V}=\frac{\nu_{Ar}RT_2}{V}\Rightarrow \nu_{He}\cdot300=\nu_{Ar}\cdot900\Rightarrow \nu_{He}=3\nu_{Ar}.$$

Шаг 2. Цилиндр теплоизолирован от внешней среды, суммарный объём постоянен — значит, внешней работы система не совершает и теплота не уходит наружу. Следовательно, суммарная внутренняя энергия сохраняется: $$U_{1,He}+U_{1,Ar}=U_{2,He}+U_{2,Ar}.$$

Шаг 3. Оба газа одноатомные ($i=3$), поэтому $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. После установления теплового равновесия температуры газов совпадают: $T_{He}=T_{Ar}=T$. Запишем закон сохранения: $$\frac{3}{2}R(\nu_{He}\cdot300+\nu_{Ar}\cdot900)=\frac{3}{2}RT(\nu_{He}+\nu_{Ar}).$$

Шаг 4. Подставим $\nu_{He}=3\nu_{Ar}$: $$3\nu_{Ar}\cdot300+\nu_{Ar}\cdot900=T(3\nu_{Ar}+\nu_{Ar})\Rightarrow 900\nu_{Ar}+900\nu_{Ar}=4\nu_{Ar}T\Rightarrow T=450\ \text{К}.$$

Шаг 5. Отношение внутренней энергии гелия после и до: $$\frac{U_{2,He}}{U_{1,He}}=\frac{\frac{3}{2}\nu_{He}RT}{\frac{3}{2}\nu_{He}R\cdot300}=\frac{T}{300}=\frac{450}{300}=1{,}5.$$

Ответ: отношение равно $1{,}5$.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают перевести температуру в Кельвины — использование градусов Цельсия в формуле $pV=\nu RT$ даёт неверный результат.
• Не учитывают, что при равных $p$ и $T$ отношение плотностей газов равно отношению молярных масс — вместо этого пытаются вычислять абсолютные плотности и допускают арифметические ошибки.
• Ошибочно считают, что теплоизолированная система из двух частей — это система с $Q=0$ для каждой части по отдельности; на самом деле теплообмен между частями возможен, а нулю равна лишь суммарная теплота, уходящая наружу.
• При анализе поршня забывают условие равенства давлений при равновесии без трения, из-за чего теряется одно из ключевых уравнений.
• Путают понятия «работа газа» и «работа над газом» — знаки в первом начале термодинамики расставляют неверно.
• Не проверяют физический смысл ответа (отрицательная масса, температура ниже абсолютного нуля, КПД больше 100%), из-за чего пропускают арифметические ошибки.
• Забывают, что для одноатомного газа $i=3$, а для двухатомного $i=5$, и путают коэффициенты при вычислении внутренней энергии и теплоёмкости.

Как готовиться

Решайте задачи блоками по типам физических моделей: сначала все задачи на равновесие тел в газе (шары, поршни), затем задачи на первое начало термодинамики для разных процессов, затем задачи на тепловой баланс и КПД. Для каждой прорешанной задачи выписывайте отдельно физическую модель (какие законы применимы) и математические преобразования — это формирует умение быстро узнавать тип задачи на экзамене. Обязательно решайте задачи с двумя связанными телами (два газа, разделённые поршнем; тело и жидкость), так как именно в них чаще всего требуется закон сохранения энергии для всей системы. Регулярно повторяйте таблицу формул работы газа для разных процессов и формулу КПД цикла — их желательно знать наизусть, не выводя каждый раз. Полезно вести список типичных ошибок, которые допускаете сами, и перед экзаменом ещё раз просматривать именно этот список.