Основы теории вероятностей: формулы и примеры для ОГЭ

Коротко о главном

Вероятность события — это число от 0 до 1, показывающее, насколько вероятно, что событие произойдёт. В заданиях ОГЭ почти всегда используется классическое определение вероятности: нужно посчитать все возможные равновозможные исходы и те из них, которые нас интересуют. Дополнительно применяются правила сложения (для несовместных событий) и умножения (для независимых событий). Задание 10 обычно решается в одно-два действия, но требует аккуратного подсчёта исходов.

Определения и формулы

Понятие	Формула / правило	Пояснение
Классическая вероятность	$P(A)=\dfrac{m}{n}$	$m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех равновозможных исходов
Диапазон вероятности	$0 \le P(A) \le 1$	0 — событие невозможно, 1 — событие достоверно
Противоположное событие	$P(\bar A)=1-P(A)$	Если легче найти вероятность "не A"
Сложение несовместных событий	$P(A \text{ или } B)=P(A)+P(B)$	События не могут произойти одновременно
Умножение независимых событий	$P(A \text{ и } B)=P(A)\cdot P(B)$	Одно событие не влияет на другое
Сумма вероятностей полной группы	$P_1+P_2+\dots+P_n=1$	Все возможные исходы вместе дают 1

Равновозможные исходы — это исходы, у которых нет причин быть более или менее вероятными (например, любая грань кубика выпадает с одинаковым шансом).

Благоприятные исходы — те исходы, которые удовлетворяют условию задачи (то, что нас "интересует").

Как применять

Пример 1. Классическая вероятность. В коробке 5 красных и 3 синих шара. Наугад вынимают один шар. Найдите вероятность, что он синий.

Всего шаров: $n = 5+3=8$. Благоприятные исходы (синий шар): $m=3$. $$P=\frac{3}{8}=0{,}375$$

Пример 2. Противоположное событие. Вероятность того, что новый телефон прослужит больше года, равна 0,92. Найдите вероятность, что он выйдет из строя в течение года.

События противоположны, поэтому: $$P=1-0{,}92=0{,}08$$

Пример 3. Умножение вероятностей (независимые события). Монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орёл.

Вероятность орла при одном броске: $P=\dfrac{1}{2}$. Броски независимы, значит: $$P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0{,}25$$

Пример 4. Сложение несовместных событий. В лотерее вероятность выиграть 100 рублей — 0,3, вероятность выиграть 500 рублей — 0,05. Найдите вероятность выиграть хотя бы что-то из этих сумм.

События несовместны (нельзя выиграть сразу и то, и то по условию), поэтому складываем: $$P=0{,}3+0{,}05=0{,}35$$

Типичные ошибки

• Путают общее число исходов с числом благоприятных. Важно чётко определить, что считаем в числителе, а что в знаменателе.
• Складывают вероятности зависимых или совместных событий, хотя правило сложения работает только для несовместных событий.
• Умножают вероятности зависимых событий, забывая проверить условие независимости.
• Забывают перевести проценты в доли (например, 30% — это 0,3, а не 30).
• Не проверяют разумность ответа: вероятность не может быть больше 1 или отрицательной — если получилось иначе, где-то ошибка в подсчёте.
• Путают вероятность события и вероятность противоположного события, особенно в задачах со словами "хотя бы один" или "не менее".

Где встречается на экзамене

Задание 10 ОГЭ почти всегда посвящено теории вероятностей. Чаще всего встречаются задачи на:

• классическую вероятность (шары, кубики, карточки, лотерейные билеты);
• вероятность противоположного события (брак товара, поломка прибора);
• умножение вероятностей независимых событий (несколько бросков монеты или кубика, работа двух независимых устройств);
• сложение вероятностей несовместных событий (различные варианты исхода одного события).

Обычно достаточно одной-двух формул, но нужно внимательно читать условие: именно оно подсказывает, какое правило применять — сложение или умножение.