Задание 10 ОГЭ: вероятности, диаграммы Эйлера и деревья решений

Что проверяет задание

Задание 10 ОГЭ проверяет умение работать с базовыми вероятностными моделями и простыми статистическими данными. Проверяются три навыка одновременно: чтение диаграммы Эйлера с элементарными событиями, построение и использование дерева случайного опыта, а также применение классического определения вероятности и основных статистических характеристик (среднее, мода, медиана, частота). Задание не требует сложных вычислений — важно правильно понять картинку или таблицу и применить нужную формулу.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Формулировка обычно звучит так: «На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$... Найдите вероятность события...» или «На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$». Иногда вместо рисунка дана таблица с частотами или список чисел для статистического анализа. Задание относится к первой части экзамена, оценивается в 1 балл, ответ — число (десятичная дробь, часто конечная). На решение стоит тратить не больше 2–3 минут.

Что нужно знать

• Классическая вероятность: $P(A)=\dfrac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов.
• Вероятность противоположного события: $P(\overline{A})=1-P(A)$.
• Формула включения-исключения: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
• Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1: $\sum P(\omega_i)=1$.
• На диаграмме Эйлера точки — это элементарные события. Если они равновозможны, вероятность области равна числу точек в ней, деленному на общее число точек. Если рядом с точками указаны числа, эти числа — сами вероятности, и их нужно складывать.
• Дерево случайного опыта: вероятность конкретного пути (ветви) равна произведению вероятностей на всех отрезках этого пути. Если событие достигается несколькими путями, вероятности путей складываются — это формула полной вероятности: $P(B)=\sum_i P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$.
• Основные статистические характеристики: среднее арифметическое $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$; мода — значение, встречающееся чаще всех; медиана — среднее значение упорядоченного ряда (или полусумма двух средних, если количество чисел четное); относительная частота события $=\dfrac{\text{число появлений}}{\text{число испытаний}}$, которая при большом числе испытаний приближается к вероятности.

Методы решения

1. Прямой подсчёт точек на диаграмме (равновозможные исходы). Если на рисунке 20 точек и 5 из них лежат в пересечении $A\cap B$, то $P(A\cap B)=\dfrac{5}{20}=0{,}25$.

2. Сложение вероятностей точек (неравновозможные исходы). Если около точек указаны числа $0{,}1$, $0{,}2$, $0{,}3$ и все они принадлежат области $A$, то $P(A)=0{,}1+0{,}2+0{,}3=0{,}6$.

3. Формула включения-исключения для объединений и разностей. Если известно $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}2$, то $P(A\cup B)=0{,5}+0{,}4-0{,}2=0{,}7$.

4. Работа с деревом вероятностей — умножение по ветвям, сложение по путям. Пусть на первом уровне вероятности $0{,}4$ и $0{,}6$, а на втором — условные вероятности $0{,}5$ и $0{,}7$ соответственно. Тогда $P(\text{событие})=0{,}4\cdot0{,}5+0{,}6\cdot0{,}7=0{,}2+0{,}42=0{,}62$.

5. Анализ статистических данных (таблица частот). Если в таблице указано, что событие произошло 15 раз из 60 испытаний, относительная частота (оценка вероятности) равна $\dfrac{15}{60}=0{,}25$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить тип задания: диаграмма Эйлера, дерево вероятностей или статистическая таблица.
2. Если это диаграмма — понять, равновозможны точки или у них указаны конкретные вероятности.
3. Разложить искомое событие на простые логические операции: пересечение («и»), объединение («или»), дополнение («не»).
4. Посчитать нужное количество точек или сумму указанных вероятностей для каждой части события.
5. Если исходы равновозможны — разделить полученное число на общее число точек; если вероятности уже даны — просто сложить нужные значения.
6. Для дерева — выписать все пути (ветви), которые приводят к искомому событию, умножить вероятности вдоль каждого пути и сложить результаты по всем подходящим путям.
7. Проверить самоконтролем: сумма всех вероятностей элементарных исходов должна равняться 1.
8. Записать ответ в требуемом формате — обычно как десятичную дробь.

Разбор примеров

Пример 1. На диаграмме Эйлера изображены события $A$ и $B$, точки равновозможны. Нужно найти $P(A\cup\overline{B})$.

Шаг 1. Диаграмму делят на четыре зоны: только $A$, только $B$, пересечение $A\cap B$, и область вне обоих множеств. Предположим, что всего на рисунке 10 точек, распределённых так: только $A$ — 2 точки, пересечение $A\cap B$ — 1 точка, только $B$ — 4 точки, вне обоих множеств — 3 точки. Проверка: $2+1+4+3=10$ — все точки учтены.

Шаг 2. Событие $\overline{B}$ — это все точки, которые не входят в $B$, то есть зона «только $A$» и зона «вне обоих множеств»: $2+3=5$ точек.

Шаг 3. Событие $A\cup\overline{B}$ объединяет точки события $A$ (только $A$ и пересечение) и точки события $\overline{B}$. Поскольку зона «только $A$» уже входит и в $A$, и в $\overline{B}$, при объединении она считается один раз. В итоге в объединение входят все зоны, кроме «только $B$»: $2+1+3=6$ точек.

Шаг 4. Вероятность равна отношению числа благоприятных точек к общему числу: $P(A\cup\overline{B})=\dfrac{6}{10}=0{,}6$.

Ответ: $0{,}6$.

Пример 2. На диаграмме Эйлера точки не равновозможны — около каждой указана её вероятность. Нужно найти $P(A)$.

Шаг 1. Диаграмма содержит те же четыре зоны. Пусть вероятности точек распределены так: только $A$ — $0{,}4$, пересечение $A\cap B$ — $0{,}3$, только $B$ — $0{,}2$, вне обоих множеств — $0{,}1$. Проверка: сумма всех вероятностей $0{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1=1$, что подтверждает корректность разбиения.

Шаг 2. Событие $A$ состоит из зоны «только $A$» и зоны пересечения $A\cap B$, так как в обеих этих зонах происходит событие $A$.

Шаг 3. Складываем соответствующие вероятности: $P(A)=0{,}4+0{,}3=0{,}7$.

Ответ: $0{,}7$.

Пример 3. Дано дерево случайного опыта. Нужно найти вероятность события $B$.

Шаг 1. На первом уровне дерева два возможных исхода — назовём их $A_1$ и $A_2$ — с вероятностями $P(A_1)=0{,}5$ и $P(A_2)=0{,}5$ (в сумме дают 1, как и должно быть для полной группы событий).

Шаг 2. От каждого узла первого уровня отходят ветви к событию $B$ и к событию, противоположному $B$. Условные вероятности таковы: $P(B\mid A_1)=0{,}9$, $P(B\mid A_2)=0{,}6$.

Шаг 3. Вероятность события $B$ по каждому пути равна произведению вероятностей вдоль ветвей: путь через $A_1$ даёт $0{,}5\cdot0{,}9=0{,}45$, путь через $A_2$ даёт $0{,}5\cdot0{,}6=0{,}3$.

Шаг 4. Поскольку событие $B$ может произойти любым из двух путей, вероятности путей складываются по формуле полной вероятности: $P(B)=0{,}45+0{,}3=0{,}75$.

Ответ: $0{,}75$.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между операциями «и» (пересечение) и «или» (объединение): при поиске $P(A\cup B)$ школьники иногда считают только пересечение, а при поиске $P(A\cap B)$ — складывают все точки из обоих множеств, что даёт неверный, слишком большой результат.
• Забывают, что дополнение события $\overline{B}$ включает не только зону «только $A$», но и область, лежащую вне всех обозначенных множеств.
• При работе с деревом вероятностей путают операции: вдоль одного пути вероятности нужно умножать, а между разными путями к одному событию — складывать. Частая ошибка — сложение вместо умножения на одном пути.
• Делят число точек на общее количество, даже если рядом с точками уже даны конкретные вероятности — в этом случае нужно просто складывать указанные числа, а не считать точки.
• Не проверяют самоконтролем, что сумма всех вероятностей элементарных исходов равна 1 — это быстрый способ найти ошибку в разбиении диаграммы или дерева.
• Округляют промежуточные результаты, из-за чего итоговый ответ отличается от точного значения; лучше сохранять точные дробные значения до последнего шага.

Как готовиться

Начать стоит с практики построения и чтения диаграмм Эйлера: рисовать самостоятельно два пересекающихся множества, обозначать точки, тренироваться быстро определять, какие зоны входят в объединение, пересечение и дополнение событий. Затем перейти к деревьям вероятностей — решать задачи с двумя и тремя уровнями ветвления, каждый раз проверяя, что вероятности на одном уровне из одного узла в сумме дают 1. Полезно прорешать несколько задач подряд именно на формулу полной вероятности, чтобы автоматизировать порядок действий: сначала умножение вдоль пути, потом сложение по путям. Отдельно стоит повторить статистические понятия — среднее, моду, медиану и относительную частоту, — решая задачи с таблицами данных, где нужно быстро извлечь нужное число. Хорошая тренировка — брать готовые варианты ОГЭ прошлых лет и решать именно задание 10 в разных вариациях, засекая время: на каждую задачу должно уходить не больше двух-трёх минут. После решения полезно проверять ответ альтернативным способом — например, через вычисление вероятности противоположного события или через проверку суммы всех вероятностей, равной 1. Такая привычка самоконтроля значительно снижает число случайных ошибок на экзамене.