Задание 10: Статистика, вероятности

Формулировка обычно звучит так: «На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$... Найдите вероятность события...» или «На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$». Иногда вместо рисунка дана таблица с частотами или список чисел для статистического анализа. Задание относится к первой части экзамена, оценивается в 1 балл, ответ — число (десятичная дробь, часто конечная). На решение стоит тратить не больше 2–3 минут.

• Классическая вероятность: $P(A)=\dfrac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов.
• Вероятность противоположного события: $P(\overline{A})=1-P(A)$.
• Формула включения-исключения: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
• Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1: $\sum P(\omega_i)=1$.
• На диаграмме Эйлера точки — это элементарные события. Если они равновозможны, вероятность области равна числу точек в ней, деленному на общее число точек. Если рядом с точками указаны числа, эти числа — сами вероятности, и их нужно складывать.
• Дерево случайного опыта: вероятность конкретного пути (ветви) равна произведению вероятностей на всех отрезках этого пути. Если событие достигается несколькими путями, вероятности путей складываются — это формула полной вероятности: $P(B)=\sum_i P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$.
• Основные статистические характеристики: среднее арифметическое $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$; мода — значение, встречающееся чаще всех; медиана — среднее значение упорядоченного ряда (или полусумма двух средних, если количество чисел четное); относительная частота события $=\dfrac{\text{число появлений}}{\text{число испытаний}}$, которая при большом числе испытаний приближается к вероятности.

1. Определить тип задания: диаграмма Эйлера, дерево вероятностей или статистическая таблица.
2. Если это диаграмма — понять, равновозможны точки или у них указаны конкретные вероятности.
3. Разложить искомое событие на простые логические операции: пересечение («и»), объединение («или»), дополнение («не»).
4. Посчитать нужное количество точек или сумму указанных вероятностей для каждой части события.
5. Если исходы равновозможны — разделить полученное число на общее число точек; если вероятности уже даны — просто сложить нужные значения.
6. Для дерева — выписать все пути (ветви), которые приводят к искомому событию, умножить вероятности вдоль каждого пути и сложить результаты по всем подходящим путям.
7. Проверить самоконтролем: сумма всех вероятностей элементарных исходов должна равняться 1.
8. Записать ответ в требуемом формате — обычно как десятичную дробь.