Статистические характеристики: среднее, мода, медиана — ОГЭ

Коротко о главном

В задании 10 ОГЭ проверяют умение находить три характеристики набора чисел:

• среднее арифметическое — «средний уровень» данных;
• мода — самое частое значение;
• медиана — значение «в середине» упорядоченного ряда.

Главное правило: перед поиском моды и медианы данные нужно расположить по возрастанию. Среднее считают по исходным числам — порядок не важен.

Определения и формулы/правила

Характеристика	Определение	Формула/правило
Среднее арифметическое	Сумма всех значений, делённая на их количество	$$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
Мода	Значение, встречающееся чаще остальных	Смотрим на частоту повторений; мод может быть несколько или не быть вовсе
Медиана (нечётное $n$)	Значение, стоящее ровно в середине упорядоченного ряда	Номер среднего элемента: $\dfrac{n+1}{2}$
Медиана (чётное $n$)	Среднее двух центральных значений упорядоченного ряда	$$Me=\dfrac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}$$

Важные уточнения:

• Если все числа различны, мода не определена (или говорят, что моды нет).
• Если несколько чисел встречаются одинаково часто и чаще остальных, мод несколько (ряд полимодальный).
• Медиана не зависит от того, насколько велики крайние значения — на неё не влияют «выбросы», в отличие от среднего.

Как применять

Пример 1. Найдите среднее арифметическое чисел: 3, 7, 5, 7, 2.

Сумма: $3+7+5+7+2=24$, количество $n=5$.

$$\bar{x}=\dfrac{24}{5}=4{,}8$$

Пример 2. Найдите моду и медиану набора: 4, 9, 2, 9, 6, 9, 4.

Мода: число 9 встречается 3 раза — чаще остальных, значит мода = 9.

Для медианы упорядочим ряд: 2, 4, 4, 6, 9, 9, 9.

Чисел $n=7$ (нечётное), средний номер: $\dfrac{7+1}{2}=4$-й элемент.

Считаем: 2(1), 4(2), 4(3), 6(4), 9(5), 9(6), 9(7).

Медиана = 6.

Пример 3. Найдите медиану чисел: 10, 2, 8, 4.

Упорядочим: 2, 4, 8, 10. Здесь $n=4$ — чётное, берём два средних числа: 4 и 8.

$$Me=\dfrac{4+8}{2}=6$$

Типичные ошибки

• Забывают упорядочить ряд перед поиском медианы — берут «среднее по счёту» число из исходного (неотсортированного) списка.
• Путают моду и медиану: мода — это самое частое значение, а не его позиция; медиана — это позиция в середине, а не частота.
• При чётном количестве чисел забывают делить сумму двух средних на 2 и указывают одно из них как медиану.
• Считают, что мода обязательно есть у любого набора — если все значения разные, моды нет.
• Ошибки в подсчёте $n$: количество чисел определяют неверно, из-за чего путают формулу для чётного/нечётного случая.
• При вычислении среднего арифметического забывают какое-то число при сложении или делят не на то количество слагаемых.

Где встречается на экзамене

Задание 10 ОГЭ обычно даёт набор чисел (иногда представленный как результаты измерений, оценки, температура и т.п.) и просит найти одну из характеристик или сравнить их. Часто встречаются формулировки: «найдите среднее арифметическое», «найдите моду ряда», «на сколько медиана больше среднего» — здесь нужно последовательно применить все три правила и внимательно проверить порядок чисел.