Арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы для ОГЭ

Коротко о главном

Прогрессия — это числовая последовательность, где каждый следующий член связан с предыдущим по определённому правилу.

• Арифметическая прогрессия (АП) — каждый следующий член получается сложением с постоянным числом $d$ (разностью).
• Геометрическая прогрессия (ГП) — каждый следующий член получается умножением на постоянное число $q$ (знаменатель).

В задании 14 ОГЭ обычно нужно найти конкретный член, разность/знаменатель, сумму нескольких членов или составить уравнение по условию задачи.

Определения и формулы

Понятие	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Правило	$a_{n+1} = a_n + d$	$b_{n+1} = b_n \cdot q$
n-й член	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
Разность/знаменатель	$d = a_{n+1} - a_n$	$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$
Сумма n членов	$S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$	$S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1},\ q\neq 1$
Альтернативная сумма	$S_n = \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$	—
Характеристическое свойство	$a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$	$b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ (для $b_n>0$)

Важно: в геометрической прогрессии все члены отличны от нуля, а $q \neq 0$.

Как применять

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: $a_1 = 5$, $d = 3$. Найдите $a_{10}$.

Решение: $$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 5 + 9\cdot 3 = 5+27=32.$$

Пример 2. Найдите сумму первых 8 членов арифметической прогрессии, если $a_1 = 2$, $d = 4$.

Решение: сначала найдём $a_8$: $$a_8 = 2 + 7\cdot 4 = 30.$$ Теперь сумму: $$S_8 = \frac{a_1+a_8}{2}\cdot 8 = \frac{2+30}{2}\cdot 8 = 16\cdot 8=128.$$

Пример 3. Геометрическая прогрессия: $b_1 = 3$, $q = 2$. Найдите $b_5$ и сумму первых 5 членов.

Решение: $$b_5 = 3 \cdot 2^{4} = 3\cdot 16 = 48.$$ $$S_5 = \frac{3(2^5-1)}{2-1} = \frac{3\cdot 31}{1}=93.$$

Типичные ошибки

• Путают показатель степени: пишут $q^n$ вместо $q^{n-1}$ (аналогично с $(n-1)d$ в АП).
• Забывают, что нумерация членов начинается с $a_1$, а не с $a_0$ — при вычислении $a_n$ подставляют неправильное количество шагов.
• В формуле суммы геометрической прогрессии путают числитель и знаменатель дроби, особенно при $q<1$ (иногда используют формулу $\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ — она равносильна основной, но легко перепутать знаки).
• При $q=1$ используют формулу с делением на $q-1=0$ — в этом случае $S_n = b_1 \cdot n$.
• Не проверяют знак $d$ или $q$: если прогрессия убывающая, $d<0$ или $0<q<1$.
• Путают формулы АП и ГП местами (складывают вместо умножения или наоборот).

Где встречается на экзамене

Задание 14 ОГЭ обычно требует:

• найти конкретный член прогрессии по данным условиям;
• найти разность $d$ или знаменатель $q$ по двум известным членам;
• вычислить сумму нескольких членов прогрессии;
• составить и решить уравнение, если задача сформулирована текстово (например, про накопления, распределение по дням и т.п.).

Часто в условии даётся не первый член, а какой-то средний или конечный — тогда нужно сначала выразить $a_1$ или $b_1$ через известные данные, используя основные формулы.