Задание 14 ОГЭ: прогрессии — арифметическая и геометрическая

Что проверяет задание

Задание 14 ОГЭ проверяет умение работать с числовыми последовательностями — арифметической и геометрической прогрессиями. Проверяются навыки: находить конкретный член последовательности, вычислять сумму первых членов, определять разность или знаменатель прогрессии по описанию реальной ситуации. Чаще всего задача облечена в бытовой сюжет: ряды в зале, кирпичи в кладке, вклад в банке, размножение бактерий. Нужно перевести словесное условие в математическую модель и применить нужную формулу.

Это задание проверяет не только знание формул, но и умение читать условие внимательно: определить, что известно (первый член, разность), а что требуется найти (конкретный член или сумму).

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка звучит так: «В амфитеатре N рядов. В первом ряду K мест, а в каждом следующем на d мест больше (или меньше), чем в предыдущем. Сколько мест в определённом ряду?» или «Сколько всего мест в амфитеатре?»

Задание относится к части с кратким ответом — нужно записать только число, без решения. За него дают 1 балл. Ответ должен быть точным целым числом (или иногда дробным, если того требует контекст задачи).

Важно: несмотря на то, что баллов немного, задание считается несложным при знании формул, поэтому терять его на экзамене не стоит.

Что нужно знать

• Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, каждый следующий член которой получается из предыдущего добавлением одного и того же числа $d$ (разности): $$a_{n+1} = a_n + d$$
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$
• Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$ или, если $a_n$ неизвестно: $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$
• Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, каждый следующий член которой получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$ (знаменатель): $$b_{n+1} = b_n \cdot q$$
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
• Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии (при $q \neq 1$): $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$
• Если разность $d > 0$, прогрессия возрастающая; если $d < 0$ — убывающая. Аналогично для геометрической прогрессии знаменатель $q > 1$ даёт рост, $0 < q < 1$ — убывание.
• В задачах на амфитеатр, кладку кирпичей, посадку деревьев по рядам почти всегда используется именно арифметическая прогрессия, так как разница между соседними рядами постоянна.

Методы решения

Метод 1. Прямое применение формулы n-го члена. Используется, когда нужно найти конкретный член последовательности (например, число мест в определённом ряду). Мини-пример: первый член $a_1 = 10$, разность $d = 2$, найти пятый член. $$a_5 = 10 + (5-1)\cdot 2 = 18$$

Метод 2. Применение формулы суммы через первый и последний члены. Применяется, если нужно найти общую сумму (например, все места в зале), и известны первый и последний члены. Мини-пример: $a_1 = 5$, $a_{10} = 50$, найти сумму первых 10 членов. $$S_{10} = \frac{5 + 50}{2}\cdot 10 = 275$$

Метод 3. Применение формулы суммы через первый член и разность (когда последний член неизвестен). Мини-пример: $a_1 = 3$, $d = 4$, найти сумму первых 6 членов. $$S_6 = \frac{2\cdot 3 + (6-1)\cdot 4}{2}\cdot 6 = \frac{6+20}{2}\cdot 6 = 78$$

Метод 4. Восстановление разности или первого члена по двум известным членам. Если известны два члена прогрессии, можно составить систему уравнений и найти $a_1$ и $d$. Мини-пример: $a_3 = 11$, $a_7 = 23$. Тогда $a_7 - a_3 = 4d$, отсюда $d = \frac{23-11}{4} = 3$, а $a_1 = a_3 - 2d = 11 - 6 = 5$.

Метод 5. Применение формулы n-го члена и суммы геометрической прогрессии. Используется в задачах на удвоение, размножение, банковский вклад с процентами. Мини-пример: $b_1 = 2$, $q = 3$, найти четвёртый член. $$b_4 = 2 \cdot 3^{3} = 54$$

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и выписать данные: первый член $a_1$ (обычно это количество мест/предметов в первом ряду или на первом этапе), разность $d$ (насколько увеличивается или уменьшается величина от ряда к ряду), общее количество членов $n$ (количество рядов).
2. Определить, что именно требуется найти: конкретный член последовательности (например, число мест в конкретном ряду) или сумму всех членов (общее число мест).
3. Если нужно найти конкретный член — применить формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$, подставив номер нужного члена.
4. Если нужно найти сумму — сначала (при необходимости) найти последний член $a_n$ по формуле из пункта 3, а затем применить формулу суммы $S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
5. Подставить числовые значения аккуратно, соблюдая порядок действий: сначала разность умножить на $(n-1)$, затем сложить с $a_1$.
6. Проверить полученный ответ на здравый смысл: число мест должно быть положительным целым числом, разумным по величине.
7. Записать итоговый ответ в требуемом виде — как правило, целое число.

Разбор примеров

Пример 1. Условие: в амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Шаг 1. Определяем тип задачи — это арифметическая прогрессия, так как количество мест увеличивается на одно и то же число (2) от ряда к ряду.

Шаг 2. Выписываем данные: $a_1 = 17$, $d = 2$, $n = 13$.

Шаг 3. Требуется найти сумму всех мест, то есть сумму первых 13 членов прогрессии $S_{13}$.

Шаг 4. Сначала найдём последний, то есть 13-й член: $$a_{13} = a_1 + (13-1)d = 17 + 12\cdot 2 = 17 + 24 = 41$$

Шаг 5. Теперь применяем формулу суммы: $$S_{13} = \frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot 13 = \frac{17+41}{2}\cdot 13 = \frac{58}{2}\cdot 13 = 29\cdot 13$$

Шаг 6. Вычисляем: $$29\cdot 13 = 377$$

Ответ: 377 мест. Это совпадает с ожидаемым результатом задачи.

Пример 2. Условие: в амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Шаг 1. Это арифметическая прогрессия с $a_1 = 25$ и $d = 3$.

Шаг 2. Требуется найти не сумму, а конкретный член последовательности — число мест в восьмом ряду, то есть $a_8$.

Шаг 3. Применяем формулу n-го члена: $$a_8 = a_1 + (8-1)d = 25 + 7\cdot 3$$

Шаг 4. Вычисляем: $$a_8 = 25 + 21 = 46$$

Ответ: 46 мест в восьмом ряду. Обратите внимание: здесь общее количество рядов (10) не используется в вычислении — оно даётся просто как контекст задачи и не влияет на нахождение конкретного члена.

Пример 3. Условие: в амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Шаг 1. Тип задачи — арифметическая прогрессия, $a_1 = 20$, $d = 3$.

Шаг 2. Нужно найти $a_{10}$ — количество мест в десятом ряду.

Шаг 3. Применяем формулу n-го члена: $$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 20 + 9\cdot 3$$

Шаг 4. Вычисляем: $$a_{10} = 20 + 27 = 47$$

Ответ: 47 мест в десятом ряду. Как и в предыдущем примере, общее число рядов (14) здесь избыточная информация для данного вопроса — она нужна была бы, если бы спрашивали про сумму всех мест.

Во всех трёх примерах ключевой навык — правильно определить, что дано ($a_1$, $d$) и что требуется найти (конкретный член или сумма), а затем аккуратно подставить значения в соответствующую формулу.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между номером члена и количеством шагов. В формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$ показатель степени — это $(n-1)$, а не $n$. Частая ошибка — умножать разность на $n$ вместо $(n-1)$, что даёт неверный результат.
• Неверное определение, что искать — член или сумму. Внимательно читайте вопрос: «сколько мест в определённом ряду» — это конкретный член, «сколько всего мест» — это сумма.
• Путаница знака разности. Если в условии сказано «на столько-то меньше», разность отрицательная, и её нужно вычитать, а не складывать.
• Ошибка в вычислении последнего члена перед нахождением суммы. Перед применением формулы суммы через первый и последний член обязательно сначала верно посчитайте последний член — ошибка здесь приведёт к неверной итоговой сумме.
• Использование лишних данных не по делу. Если в задаче на нахождение конкретного члена случайно применяется общее количество рядов вместо нужного номера, ответ будет неверным.
• Арифметические ошибки при умножении и сложении. Задание кажется простым, но именно из-за невнимательности при подсчёте (например, ошибка в таблице умножения) теряются баллы.
• Путаница между арифметической и геометрической прогрессией. Если в условии сказано «в каждом следующем ряду на столько-то мест больше» — это арифметическая прогрессия (сложение). Если «в каждом следующем ряду вдвое больше» или упоминается умножение/проценты — это геометрическая прогрессия.

Как готовиться

Для уверенного решения задания 14 нужно твёрдо выучить наизусть все базовые формулы: n-й член и сумма для обоих типов прогрессий. Полезно проговорить формулы своими словами, чтобы понимать их смысл, а не просто механически подставлять числа.

Потренируйтесь решать задачи разного типа: на нахождение конкретного члена, на нахождение суммы, на восстановление первого члена или разности по двум известным членам. Решите не менее 15–20 задач из открытого банка заданий, чтобы автоматизировать применение формул.

При разборе каждой задачи сначала чётко выписывайте, что дано ($a_1$, $d$ или $q$, $n$) и что нужно найти. Это снижает риск ошибки из-за невнимательности.

Обращайте внимание на слова в условии: «в каждом следующем на… больше/меньше» указывает на арифметическую прогрессию, а «в каждом следующем в… раз больше/меньше» — на геометрическую. Отработайте умение быстро определять тип прогрессии по формулировке.

После решения всегда проверяйте ответ на разумность: число мест, кирпичей или предметов должно быть целым положительным числом, соответствующим масштабу задачи. Если получилось отрицательное число или явно нереальная величина — ищите ошибку в вычислениях.

Накануне экзамена сделайте краткий конспект с формулами и повторите его несколько раз — это поможет быстро восстановить нужную формулу прямо на экзамене без долгих раздумий.