Задание 14: Задачи на прогрессии

Типичная формулировка звучит так: «В амфитеатре N рядов. В первом ряду K мест, а в каждом следующем на d мест больше (или меньше), чем в предыдущем. Сколько мест в определённом ряду?» или «Сколько всего мест в амфитеатре?»

Задание относится к части с кратким ответом — нужно записать только число, без решения. За него дают 1 балл. Ответ должен быть точным целым числом (или иногда дробным, если того требует контекст задачи).

Важно: несмотря на то, что баллов немного, задание считается несложным при знании формул, поэтому терять его на экзамене не стоит.

• Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, каждый следующий член которой получается из предыдущего добавлением одного и того же числа $d$ (разности): $$a_{n+1} = a_n + d$$
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$
• Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$ или, если $a_n$ неизвестно: $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$
• Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, каждый следующий член которой получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$ (знаменатель): $$b_{n+1} = b_n \cdot q$$
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
• Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии (при $q \neq 1$): $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$
• Если разность $d > 0$, прогрессия возрастающая; если $d < 0$ — убывающая. Аналогично для геометрической прогрессии знаменатель $q > 1$ даёт рост, $0 < q < 1$ — убывание.
• В задачах на амфитеатр, кладку кирпичей, посадку деревьев по рядам почти всегда используется именно арифметическая прогрессия, так как разница между соседними рядами постоянна.

1. Внимательно прочитать условие и выписать данные: первый член $a_1$ (обычно это количество мест/предметов в первом ряду или на первом этапе), разность $d$ (насколько увеличивается или уменьшается величина от ряда к ряду), общее количество членов $n$ (количество рядов).
2. Определить, что именно требуется найти: конкретный член последовательности (например, число мест в конкретном ряду) или сумму всех членов (общее число мест).
3. Если нужно найти конкретный член — применить формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$, подставив номер нужного члена.
4. Если нужно найти сумму — сначала (при необходимости) найти последний член $a_n$ по формуле из пункта 3, а затем применить формулу суммы $S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
5. Подставить числовые значения аккуратно, соблюдая порядок действий: сначала разность умножить на $(n-1)$, затем сложить с $a_1$. …