Системы счисления: перевод и сравнение чисел (ОГЭ, задание 10)

Коротко о главном

В задании 10 ОГЭ проверяют умение переводить числа между системами счисления (обычно 2, 8, 10, 16) и сравнивать числа, записанные в разных основаниях. Ключевая идея: любое число — это просто разное представление одной и той же величины, поэтому для сравнения его удобно привести к десятичной системе.

Определения и формулы/правила

Позиционная система счисления — система, где вклад цифры зависит от её позиции (разряда). Число в системе с основанием $q$ записывается как:

$$N_q = a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0 = a_n \cdot q^n + a_{n-1}\cdot q^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0$$

Система	Основание	Цифры
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0–7
Десятичная	10	0–9
Шестнадцатеричная	16	0–9, A–F (A=10, B=11, ..., F=15)

Перевод из системы с основанием $q$ в десятичную — раскрыть по формуле выше (развёрнутая запись).

Перевод из десятичной в систему с основанием $q$ — последовательное деление числа на $q$ с записью остатков; число составляется из остатков в обратном порядке (снизу вверх).

Быстрый перевод между 2, 8 и 16 (родственные основания)

• $8 = 2^3$: каждая восьмеричная цифра ↔ 3 бита.
• $16 = 2^4$: каждая шестнадцатеричная цифра ↔ 4 бита.

Чтобы перевести из двоичной в восьмеричную — разбить число на группы по 3 бита справа налево (недостающие слева дополнить нулями), каждую группу заменить восьмеричной цифрой. Для шестнадцатеричной — группы по 4 бита.

Сравнение чисел из разных систем — перевести оба числа в одну систему (обычно десятичную) и сравнить как обычные числа.

Как применять

Пример 1. Перевод из двоичной в десятичную

Перевести $101101_2$ в десятичную систему.

$$101101_2 = 1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0$$ $$=32+0+8+4+0+1=45$$

Ответ: $45$.

Пример 2. Перевод из десятичной в двоичную

Перевести $58_{10}$ в двоичную систему делением на 2:

$$58:2=29\ (\text{ост. }0)$$ $$29:2=14\ (\text{ост. }1)$$ $$14:2=7\ (\text{ост. }0)$$ $$7:2=3\ (\text{ост. }1)$$ $$3:2=1\ (\text{ост. }1)$$ $$1:2=0\ (\text{ост. }1)$$

Остатки снизу вверх: $111010_2$.

Пример 3. Сравнение чисел из разных систем

Сравнить $37_8$ и $101111_2$.

$37_8 = 3\cdot8+7=31$

$101111_2 = 32+0+8+4+2+1=47$

Так как $31 < 47$, то $37_8 < 101111_2$.

Типичные ошибки

• Перепутать порядок разрядов при переводе десятичного числа: остатки нужно записывать снизу вверх (последний остаток — старший разряд), а не в порядке вычисления.
• Ошибка в степенях при развёрнутой записи: младший разряд (самый правый) соответствует степени $q^0$, а не $q^1$.
• Неверное разбиение на группы при быстром переводе 2↔8 или 2↔16: группы считаются справа налево, недостающие биты слева дополняются нулями (а не справа).
• Сравнение чисел «на глаз» без перевода в одну систему — числа с одинаковым количеством цифр в разных основаниях могут иметь совершенно разную величину.
• Путаница с шестнадцатеричными буквами: забывают, что $A=10$, $F=15$, и переводят их как обычные цифры.
• Ошибка при переводе нуля или при делении, когда частное сразу равно 0 — важно продолжать деление до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Где встречается на экзамене

Задание 10 ОГЭ по информатике прямо проверяет перевод чисел между системами счисления (2, 8, 10, 16) и их сравнение. Также эти навыки нужны в задачах на IP-адреса, кодирование информации и в некоторых задачах на теорию алгоритмов и логику, где встречаются числа в разных основаниях.