Задание 10 ОГЭ: перевод чисел между системами счисления

Что проверяет задание

Задание 10 ОГЭ по информатике проверяет умение переводить числа из одной позиционной системы счисления в другую, а также работать с цифрами числа в разных системах — считать их сумму или количество. Чаще всего встречаются переводы между десятичной и двоичной системами, но может попасться и восьмеричная, и шестнадцатеричная система. Задание проверяет не столько знание теории, сколько аккуратность вычислений: умение делить числа столбиком, переводить остатки в цифры и не сбиться при развёрнутой записи числа.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную»;
• «Переведите число из десятичной системы счисления в двоичную. В ответе укажите двоичное число»;
• «Найдите сумму цифр числа в его восьмеричной записи»;
• «Сколько цифр 1 содержится в двоичной записи числа?»

Задание относится к части с кратким ответом — нужно записать число или цифру без пояснений. За правильный ответ даётся 1 балл. Ошибка в вычислениях или неверная система счисления в ответе делает задание невыполненным полностью, промежуточных баллов нет. Поэтому важно проверять себя на каждом шаге.

Что нужно знать

• Позиционная система счисления — система, где значение цифры зависит от её позиции в числе. Основание системы $q$ показывает, сколько цифр используется (0, 1, ..., $q-1$).

• Развёрнутая форма записи числа в системе с основанием $q$: $$A_q = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + \dots + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0$$ где $a_i$ — цифры числа, $q^i$ — вес разряда.

• Перевод из системы с основанием $q$ в десятичную — вычисление суммы по развёрнутой формуле.

• Перевод из десятичной системы в систему с основанием $q$ — последовательное деление числа на $q$ с записью остатков. Число записывается остатками в порядке от последнего к первому.

• Веса разрядов двоичной системы (основание 2): $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, \dots$ — то есть степени двойки $2^0, 2^1, 2^2, \dots$

• Максимальная цифра в системе с основанием $q$ равна $q-1$. Например, в восьмеричной системе цифры от 0 до 7, в шестнадцатеричной — от 0 до 9 и буквы A–F (10–15).

• Сумма цифр числа — это сумма всех цифр в его записи в указанной системе счисления (не путать с самим числом).

• Количество цифр числа — число разрядов в записи; для двоичной системы часто спрашивают количество единиц или нулей.

Методы решения

Метод 1. Перевод из двоичной системы в десятичную через развёрнутую форму. Запишите число как сумму степеней двойки, умноженных на цифры, и посчитайте сумму. Мини-пример: число $101_2 = 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 4+0+1=5$.

Метод 2. Перевод из десятичной системы в другую систему делением с остатком. Число делится на основание системы, остаток записывается, деление продолжается с частным до тех пор, пока частное не станет равно нулю. Ответ читается снизу вверх. Мини-пример: перевод числа 6 в двоичную систему: $6:2=3$ (остаток 0), $3:2=1$ (остаток 1), $1:2=0$ (остаток 1). Читаем остатки снизу вверх: $110_2$.

Метод 3. Быстрый перевод через степени двойки (для двоичной системы). Запомнить таблицу степеней двойки ($1,2,4,8,16,32,64,128,256$) и представлять число как сумму этих степеней «на глаз», без деления. Мини-пример: $19 = 16+2+1 = 2^4+2^1+2^0 = 10011_2$.

Метод 4. Подсчёт суммы цифр числа в заданной системе. Сначала перевести число в нужную систему счисления, затем сложить все цифры записи. Мини-пример: число $25$ в двоичной системе — $11001_2$, сумма цифр $1+1+0+0+1=3$.

Метод 5. Подсчёт количества значащих цифр (разрядов) числа. Перевести число в нужную систему и посчитать количество цифр в записи, учитывая, что старший разряд не может быть нулём. Мини-пример: число $9$ в двоичной системе — $1001_2$, количество цифр — 4.

Алгоритм решения по шагам

Перевод из системы с основанием $q$ в десятичную:

1. Пронумеруйте разряды числа справа налево, начиная с нуля.
2. Для каждой цифры $a_i$ определите вес разряда $q^i$.
3. Умножьте каждую цифру на её вес и сложите все произведения.
4. Получите десятичное число — это и есть ответ.

Перевод из десятичной системы в систему с основанием $q$:

1. Разделите число на $q$, запишите остаток и частное.
2. Полученное частное снова разделите на $q$, запишите новый остаток.
3. Повторяйте деление, пока частное не станет равным 0.
4. Запишите все остатки в порядке от последнего к первому (снизу вверх) — это и есть искомое число в новой системе.
5. Проверьте результат обратным переводом в десятичную систему.

Разбор примеров

Пример 1. Переведите двоичное число $1100110$ в десятичную систему счисления.

Шаг 1. Пронумеруем разряды числа справа налево, начиная с 0: $$1\,1\,0\,0\,1\,1\,0$$ Разряды (слева направо): 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Шаг 2. Запишем развёрнутую форму: $$1100110_2 = 1\cdot 2^6 + 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0$$

Шаг 3. Посчитаем степени двойки: $$2^6=64,\quad 2^5=32,\quad 2^4=16,\quad 2^3=8,\quad 2^2=4,\quad 2^1=2,\quad 2^0=1$$

Шаг 4. Подставим и сложим только те слагаемые, где цифра равна 1: $$64 + 32 + 4 + 2 = 102$$

Ответ: 102.

Пример 2. Переведите число 199 из десятичной системы счисления в двоичную.

Шаг 1. Делим 199 на 2: $199 = 2\cdot 99 + 1$ — остаток 1.

Шаг 2. Делим 99 на 2: $99 = 2\cdot 49 + 1$ — остаток 1.

Шаг 3. Делим 49 на 2: $49 = 2\cdot 24 + 1$ — остаток 1.

Шаг 4. Делим 24 на 2: $24 = 2\cdot 12 + 0$ — остаток 0.

Шаг 5. Делим 12 на 2: $12 = 2\cdot 6 + 0$ — остаток 0.

Шаг 6. Делим 6 на 2: $6 = 2\cdot 3 + 0$ — остаток 0.

Шаг 7. Делим 3 на 2: $3 = 2\cdot 1 + 1$ — остаток 1.

Шаг 8. Делим 1 на 2: $1 = 2\cdot 0 + 1$ — остаток 1.

Шаг 9. Частное стало равно 0 — деление закончено. Записываем остатки снизу вверх (от последнего к первому): $$1,1,0,0,0,1,1,1$$

Получаем число $11000111$.

Проверка: $11000111_2 = 128+64+0+0+0+4+2+1 = 199$ — верно.

Ответ: 11000111.

Пример 3. Переведите число 87 из десятичной системы счисления в двоичную.

Шаг 1. Делим 87 на 2: $87 = 2\cdot 43 + 1$ — остаток 1.

Шаг 2. Делим 43 на 2: $43 = 2\cdot 21 + 1$ — остаток 1.

Шаг 3. Делим 21 на 2: $21 = 2\cdot 10 + 1$ — остаток 1.

Шаг 4. Делим 10 на 2: $10 = 2\cdot 5 + 0$ — остаток 0.

Шаг 5. Делим 5 на 2: $5 = 2\cdot 2 + 1$ — остаток 1.

Шаг 6. Делим 2 на 2: $2 = 2\cdot 1 + 0$ — остаток 0.

Шаг 7. Делим 1 на 2: $1 = 2\cdot 0 + 1$ — остаток 1.

Шаг 8. Частное равно 0 — деление окончено. Остатки снизу вверх: $$1,0,1,0,1,1,1$$

Получаем число $1010111$.

Проверка: $1010111_2 = 64+0+16+0+4+2+1 = 87$ — верно.

Ответ: 1010111.

Типичные ошибки и ловушки

• Перепутан порядок остатков. При переводе десятичного числа в другую систему остатки нужно записывать снизу вверх — от последнего деления к первому. Если записать в порядке получения, число окажется зеркально перевёрнутым.

• Ошибка в нумерации разрядов. При переводе в десятичную систему разряды нумеруются справа налево, начиная с 0, а не с 1. Ошибка на единицу в показателе степени полностью меняет ответ.

• Забыто деление до конца. Деление нужно продолжать, пока частное не станет равным нулю. Если остановиться раньше, старшие разряды числа потеряются.

• Путаница между числом, суммой цифр и количеством цифр. Нужно внимательно читать вопрос: спрашивают само число, сумму его цифр или количество цифр (разрядов) — это разные задачи с разными ответами.

• Арифметические ошибки при делении столбиком. Особенно часто ошибаются в делении многозначных чисел на 2, 8 или 16. Рекомендуется всегда проверять результат обратным переводом.

• Ошибка в основании системы. Важно чётко видеть, из какой системы и в какую нужно переводить — перепутав направление перевода, легко получить неверный ответ даже при правильных вычислениях.

• Незамеченный ноль в старшем разряде. При подсчёте количества цифр в числе не нужно добавлять лишние нули слева — старший разряд числа не может быть нулём.

Как готовиться

Запомните таблицу степеней двойки от $2^0$ до $2^{10}$ — это значительно ускорит переводы между двоичной и десятичной системами и поможет проверять себя без калькулятора. Регулярно тренируйтесь переводить числа в обе стороны: сначала из десятичной в двоичную делением, затем проверяйте себя обратным переводом через развёрнутую форму. Решайте задачи не только с двоичной, но и с восьмеричной и шестнадцатеричной системами — принцип перевода одинаков, меняется только основание. Отдельно потренируйтесь на задачах про сумму и количество цифр числа: сначала переведите число в нужную систему, а затем считайте цифры — не путайте эти два разных вычисления. Решайте примеры на бумаге столбиком, а не в уме, чтобы избежать арифметических ошибок, и всегда проверяйте финальный ответ обратным переводом в исходную систему счисления.