Задание 10: Сравнение чисел в различных системах счисления

Типичные формулировки:

• «Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную»;
• «Переведите число из десятичной системы счисления в двоичную. В ответе укажите двоичное число»;
• «Найдите сумму цифр числа в его восьмеричной записи»;
• «Сколько цифр 1 содержится в двоичной записи числа?»

Задание относится к части с кратким ответом — нужно записать число или цифру без пояснений. За правильный ответ даётся 1 балл. Ошибка в вычислениях или неверная система счисления в ответе делает задание невыполненным полностью, промежуточных баллов нет. Поэтому важно проверять себя на каждом шаге.

• Позиционная система счисления — система, где значение цифры зависит от её позиции в числе. Основание системы $q$ показывает, сколько цифр используется (0, 1, ..., $q-1$).

• Развёрнутая форма записи числа в системе с основанием $q$: $$A_q = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + \dots + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0$$ где $a_i$ — цифры числа, $q^i$ — вес разряда.

• Перевод из системы с основанием $q$ в десятичную — вычисление суммы по развёрнутой формуле.

• Перевод из десятичной системы в систему с основанием $q$ — последовательное деление числа на $q$ с записью остатков. Число записывается остатками в порядке от последнего к первому.

• Веса разрядов двоичной системы (основание 2): $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, \dots$ — то есть степени двойки $2^0, 2^1, 2^2, \dots$

• Максимальная цифра в системе с основанием $q$ равна $q-1$. Например, в восьмеричной системе цифры от 0 до 7, в шестнадцатеричной — от 0 до 9 и буквы A–F (10–15).

• Сумма цифр числа — это сумма всех цифр в его записи в указанной системе счисления (не путать с самим числом).

• Количество цифр числа — число разрядов в записи; для двоичной системы часто спрашивают количество единиц или нулей.

Перевод из системы с основанием $q$ в десятичную:

1. Пронумеруйте разряды числа справа налево, начиная с нуля.
2. Для каждой цифры $a_i$ определите вес разряда $q^i$.
3. Умножьте каждую цифру на её вес и сложите все произведения.
4. Получите десятичное число — это и есть ответ.

Перевод из десятичной системы в систему с основанием $q$:

1. Разделите число на $q$, запишите остаток и частное.
2. Полученное частное снова разделите на $q$, запишите новый остаток.
3. Повторяйте деление, пока частное не станет равным 0.
4. Запишите все остатки в порядке от последнего к первому (снизу вверх) — это и есть искомое число в новой системе.
5. Проверьте результат обратным переводом в десятичную систему.