Свойства и графики основных функций — теория для ЕГЭ

Коротко о главном

В задании 11 ЕГЭ (профиль) требуется читать и строить графики функций, определять их свойства: область определения (ОДЗ), область значений, монотонность, чётность/нечётность, периодичность, точки экстремума, асимптоты. Успех зависит от знания «базовых» графиков — линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических функций — и умения применять к ним преобразования (сдвиги, растяжения, отражения).

Определения и формулы/правила

Основные понятия

• Область определения $D(f)$ — множество допустимых значений $x$.
• Область значений $E(f)$ — множество значений $y$.
• Функция чётная, если $f(-x)=f(x)$ (график симметричен относительно оси $Oy$).
• Функция нечётная, если $f(-x)=-f(x)$ (график симметричен относительно начала координат).
• Функция периодическая с периодом $T$, если $f(x+T)=f(x)$ для всех $x \in D(f)$.
• Функция возрастает на промежутке, если для $x_1<x_2$ выполняется $f(x_1)<f(x_2)$; убывает — если $f(x_1)>f(x_2)$.

Таблица свойств основных функций

Функция	$D(f)$	$E(f)$	Чётность	Монотонность	Особенности
$y=kx+b$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$ ($k\neq0$)	нет (кроме $k=0$)	возр. при $k>0$, убыв. при $k<0$	прямая
$y=ax^2+bx+c$	$\mathbb{R}$	$[y_{min};+\infty)$ или $(-\infty;y_{max}]$	чётная, если $b=0$	смена на вершине $x_0=-\dfrac{b}{2a}$	парабола
$y=x^n$, $n$ чётное	$\mathbb{R}$	$[0;+\infty)$	чётная	убыв. на $(-\infty;0)$, возр. на $(0;+\infty)$	—
$y=x^n$, $n$ нечётное	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	нечётная	возрастает на $\mathbb{R}$	—
$y=\dfrac{1}{x}$	$x\neq0$	$y\neq0$	нечётная	убыв. на каждом из промежутков	асимптоты $x=0$, $y=0$
$y=\sqrt{x}$	$x\ge0$	$y\ge0$	нет	возрастает	—
$y=a^x$, $a>0,a\neq1$	$\mathbb{R}$	$y>0$	нет	возр. при $a>1$, убыв. при $0<a<1$	асимптота $y=0$
$y=\log_a x$, $a>0,a\neq1$	$x>0$	$\mathbb{R}$	нет	возр. при $a>1$, убыв. при $0<a<1$	асимптота $x=0$
$y=\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1;1]$	нечётная	периодическая, $T=2\pi$	—
$y=\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1;1]$	чётная	периодическая, $T=2\pi$	—
$y=\tan x$	$x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi n$	$\mathbb{R}$	нечётная	периодическая, $T=\pi$	вертикальные асимптоты

Преобразования графиков (базовый график $y=f(x)$):

• $y=f(x)+c$ — сдвиг вверх/вниз на $c$;
• $y=f(x+c)$ — сдвиг влево/вправо на $c$;
• $y=-f(x)$ — отражение относительно $Ox$;
• $y=f(-x)$ — отражение относительно $Oy$;
• $y=k\cdot f(x)$ — растяжение/сжатие по вертикали;
• $y=f(kx)$ — растяжение/сжатие по горизонтали.

Как применять

Пример 1. Найти область определения функции $y=\log_2(x-3)+\sqrt{7-x}$.

Решение: нужно $x-3>0$ и $7-x\ge0$, то есть $x>3$ и $x\le7$. Ответ: $D(f)=(3;7]$.

Пример 2. Определить чётность функции $f(x)=x^4-3x^2$.

Решение: $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)$. Функция чётная, график симметричен относительно $Oy$.

Пример 3. Построить график $y=-\sqrt{x+2}-1$, используя базовый график $y=\sqrt{x}$.

Решение: последовательность преобразований — сдвиг влево на 2 ($y=\sqrt{x+2}$), отражение относительно $Ox$ ($y=-\sqrt{x+2}$), сдвиг вниз на 1 ($y=-\sqrt{x+2}-1$). Область определения: $x\ge-2$, область значений: $y\le-1$.

Типичные ошибки

• Путают чётность и нечётность: забывают проверить обе части определения $f(-x)=\pm f(x)$ для всех $x$, а не для одного значения.
• Неверно находят область определения при наличии нескольких ограничений (забывают учесть ОДЗ корня, логарифма, знаменателя одновременно).
• Путают направление сдвига: $y=f(x+c)$ при $c>0$ сдвигает график влево, а не вправо.
• Считают, что асимптота — это часть графика; забывают, что функция не принимает значение асимптоты.
• Ошибаются в определении монотонности параболы: не учитывают знак коэффициента $a$ при нахождении промежутков возрастания/убывания.

Где встречается на экзамене

Тема «Свойства и графики функций» — основа задания 11 ЕГЭ профильного уровня. Также используется в заданиях на исследование функций (производная, задание 12), в текстовых задачах с построением моделей (задание 17) и при работе с параметрами (задание 18). Понимание базовых графиков необходимо для быстрого анализа поведения функций без построения таблицы значений.