Методы решения неравенств для задания 15 профильного ЕГЭ

Коротко о главном

Задание 15 профильного ЕГЭ — это неравенства с логарифмами, показательными функциями, корнями и модулями. Универсальный инструмент — метод интервалов: свести неравенство к виду $f(x) \vee 0$ (где $\vee$ — знак сравнения), найти нули и точки разрыва (область определения), расставить знаки на числовой прямой. Ключевая сложность — не в самой схеме, а в правильном ОДЗ и корректных преобразованиях (особенно логарифмов и корней), сохраняющих знак неравенства.

Определения и формулы/правила

Понятие	Формулировка
Метод интервалов	Для $f(x) \vee 0$ находим нули и точки разрыва $f$, отмечаем на числовой прямой, определяем знак на каждом интервале (методом пробной точки или чередованием для простых множителей)
ОДЗ	Множество $x$, для которых все выражения неравенства определены (подлогарифмические выражения $>0$, основания логарифмов $>0,\ne 1$, подкоренные выражения $\ge 0$, знаменатели $\ne 0$)
Монотонность логарифма	Если $a>1$: $\log_a f(x) \lessgtr \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) \lessgtr g(x)$ (знак сохраняется). Если $0<a<1$: знак меняется
Монотонность показательной функции	Если $a>1$: $a^{f(x)} \lessgtr a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) \lessgtr g(x)$. Если $0<a<1$: знак меняется
Метод рационализации (замена множителей)	$\log_a f - \log_a g \vee 0 \Leftrightarrow (f-g)(a-1) \vee 0$ (при условии $f>0,\ g>0$)
Рационализация для степени	$a^{f} - a^{g} \vee 0 \Leftrightarrow (f-g)(a-1) \vee 0$
Модуль	$|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow -g(x) < f(x) < g(x),\ g(x)>0$; $|f(x)| > g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)$ или $f(x)<-g(x)$
Замена переменной	Если выражение содержит $a^{h(x)}$ или $\log_a h(x)$ повторно, вводим $t = a^{h(x)}$ или $t=\log_a h(x)$, решаем неравенство относительно $t$, затем возвращаемся к $x$

Знак множителя в четной/нечетной степени: множитель $(x-c)^{2k}$ не меняет знак при переходе через $c$ (кроме самой точки), множитель $(x-c)^{2k+1}$ меняет знак.

Как применять (примеры)

Пример 1. Метод интервалов с дробью

Решить: $\dfrac{(x-1)(x+3)}{x-2} \ge 0$.

Нули числителя: $x=1,\ x=-3$. Точка разрыва: $x=2$ (не входит в ответ). Расставляем точки на прямой: $-3,\ 1,\ 2$. Определяем знак на крайнем правом интервале ($x>2$): подставляем $x=3$: $\dfrac{2\cdot 6}{1}=12>0$ — знак «+». Далее чередуем знаки при переходе через простые нули (все множители первой степени): $$x\in(-\infty;-3]\cup[1;2)\cup(2;+\infty)?$$ Проверка на интервале $(-3;1)$: $x=0$: $\dfrac{(-1)(3)}{-2}=1.5>0$ — знак «+», значит чередование нарушается на $x=-3$ (кратность 1, знак должен смениться). Пересчитаем аккуратно по пробным точкам на каждом интервале — итог: $x\in[-3;2)\cup[1;+\infty)$... В таких случаях всегда проверяйте знак отдельно на каждом интервале, не доверяя одному чередованию при разном порядке нулей.

Пример 2. Логарифмическое неравенство методом рационализации

Решить: $\log_{2}(x-1) \le \log_{2}(5-x)$.

ОДЗ: $x-1>0$ и $5-x>0 \Rightarrow 1<x<5$. Так как основание $2>1$, знак сохраняется: $$x-1 \le 5-x \Rightarrow 2x \le 6 \Rightarrow x\le 3.$$ С учётом ОДЗ: $x\in(1;3]$.

Пример 3. Показательное неравенство с заменой

Решить: $4^{x} - 5\cdot 2^{x} + 4 \le 0$.

Замена $t=2^{x}>0$: $t^{2}-5t+4\le 0 \Rightarrow (t-1)(t-4)\le 0 \Rightarrow 1\le t\le 4$. Возвращаемся: $1\le 2^{x}\le 4 \Rightarrow 0\le x\le 2$.

Типичные ошибки

• Забыли ОДЗ — потеряли часть корней или включили посторонние (особенно с логарифмами и корнями).
• Не учли смену знака при $0<a<1$ для логарифма/степени — знак неравенства нужно менять, а его сохраняют.
• Неверная кратность корня в методе интервалов: у выражения $(x-c)^2$ знак не меняется, а его по ошибке чередуют как простой множитель.
• Деление на выражение неизвестного знака без рассмотрения случаев — приводит к потере решений.
• Не пересекли итоговое множество с ОДЗ в конце решения — самая частая потеря баллов.
• Ошибка при переходе через модуль: забыли добавить условие $g(x)>0$ при снятии $|f(x)|<g(x)$.

Где встречается на экзамене

Задание 15 профильного ЕГЭ по математике: неравенства с логарифмами, показательными функциями, корнями, модулями или их комбинациями, решаемые методом интервалов и заменой переменной. Тема также используется в задании 17 (текстовые задачи с параметром) и при решении систем неравенств в других номерах.