Признаки делимости и свойства целых чисел — теория для ЕГЭ (№19)

Коротко о главном

Задание 19 проверяет умение работать с целыми числами: делимостью, остатками, чётностью, признаками делимости и оценкой сумм/произведений. Успех решается не формулами, а комбинацией признаков делимости, деления с остатком и перебора с оценкой границ. Ключевая идея: любое утверждение про целые числа можно проверить через представление $n = qk+r$ и анализ остатков.

Определения и формулы/правила

Деление с остатком. Для целых $a$ и натурального $b$ существуют единственные целые $q$ (частное) и $r$ (остаток), такие что: $$a = bq + r, \quad 0 \le r < b.$$

Делимость. Число $a$ делится на $b$ ($b \mid a$), если остаток $r=0$, то есть $a=bq$.

Основные свойства делимости:

• Если $a\mid b$ и $a\mid c$, то $a\mid(b+c)$ и $a\mid(b-c)$.
• Если $a\mid b$, то $a\mid bk$ для любого целого $k$.
• Если $a\mid b$ и $b\mid c$, то $a\mid c$.
• Произведение $n$ последовательных целых чисел делится на $n!$.
• Среди любых $k$ последовательных целых чисел ровно одно делится на $k$.

Признаки делимости:

Делитель	Признак
2	последняя цифра чётная (0,2,4,6,8)
3	сумма цифр делится на 3
4	число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4
5	последняя цифра 0 или 5
6	делится на 2 и на 3
8	три последние цифры делятся на 8
9	сумма цифр делится на 9
10	последняя цифра 0
11	знакочередующаяся сумма цифр делится на 11
25	последние две цифры делятся на 25

Чётность и остатки по модулю 2:

• чётное $\pm$ чётное = чётное;
• нечётное $\pm$ нечётное = чётное;
• чётное $\pm$ нечётное = нечётное;
• чётное $\times$ любое = чётное;
• нечётное $\times$ нечётное = нечётное.

Остатки при умножении. Если $a\equiv r_1\ (\mathrm{mod}\ m)$ и $b\equiv r_2\ (\mathrm{mod}\ m)$, то $$a+b \equiv r_1+r_2, \quad ab \equiv r_1 r_2 \pmod m.$$

Простые и составные числа. Натуральное число $p>1$ простое, если делится только на 1 и себя. Любое составное число раскладывается в произведение простых (основная теорема арифметики).

НОД и НОК. Для целых $a,b$: $$\mathrm{HOД}(a,b)\cdot \mathrm{HOK}(a,b) = a\cdot b.$$

Как применять

Пример 1. Доказать, что сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. Пусть числа $n, n+1, n+2$. Сумма: $3n+3=3(n+1)$ — делится на 3 по определению.

Пример 2. Может ли сумма квадратов двух нечётных чисел делиться на 4? Нечётное число: $2k+1$. Квадрат: $(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$, остаток при делении на 4 равен 1. Сумма двух таких квадратов даёт остаток $1+1=2$ по модулю 4 — не делится на 4. Ответ: нет.

Пример 3. Найти все двузначные числа, делящиеся на 3 и на 4 одновременно. Число должно делиться на $\mathrm{HOK}(3,4)=12$. Двузначные кратные 12: $12,24,36,48,60,72,84,96$.

Типичные ошибки

• Путают условие «делится на $a\cdot b$» с «делится на $a$ и на $b$» без учёта НОК (если $a,b$ не взаимно просты, это разные вещи).
• Забывают проверить границы при переборе (например, «двузначное число» — от 10 до 99, а не от 1 до 99).
• Ошибочно считают, что сумма/произведение чётных и нечётных чисел работает так же, как для остатков по другим модулям — путают чётность с делимостью на другие числа.
• Неверно применяют признак делимости на 11: забывают про чередование знаков цифр.
• При доказательстве «для всех $n$» используют один конкретный пример вместо общего представления $n=2k$ или $n=2k+1$.

Где встречается на экзамене

Задание 19 профильного ЕГЭ регулярно строится на трёх типах задач: (1) существование чисел с заданными свойствами делимости и цифровой суммой, (2) доказательство утверждений про остатки, чётность, делимость произведений и сумм, (3) поиск наибольшего/наименьшего числа, удовлетворяющего системе условий на делимость и признаки. Часто требуется скомбинировать признак делимости с перебором остатков по модулю или с представлением числа через переменную.