Текстовые задачи на движение и работу: методы решения (ЕГЭ)

Коротко о главном

Все задачи на движение и работу строятся по одной схеме: есть общая величина (путь, объём работы), скорость выполнения (скорость движения, производительность) и время. Связь между ними — три классические формулы. Успех решения зависит не от знания формул (они простые), а от умения:

• правильно ввести переменную;
• составить уравнение или систему по условию (часто через равенство времени, суммарного пути/работы или разности);
• проверить ОДР (время, скорость, производительность — положительны).

Определения и формулы/правила

Движение

$$S = v \cdot t, \qquad v = \frac{S}{t}, \qquad t = \frac{S}{v}$$

где $S$ — путь, $v$ — скорость, $t$ — время.

Работа

$$A = w \cdot t, \qquad w = \frac{A}{t}, \qquad t = \frac{A}{w}$$

где $A$ — объём работы (часто берут $A=1$, если работа не разбита по частям), $w$ — производительность (скорость выполнения работы), $t$ — время.

Тип задачи	Особенность модели	Ключевая формула
Движение по течению/против	Скорость складывается/вычитается с течением	$v_{теч.} = v_{собств} + v_{реки}$, $v_{против} = v_{собств} - v_{реки}$
Встречное движение	Пути складываются, время общее	$S = (v_1+v_2)\cdot t$
Движение в одном направлении (догонит)	Разность путей равна начальному расстоянию	$S = (v_1-v_2)\cdot t$
Совместная работа	Складываются производительности	$w = w_1+w_2$
Работа с перерывом/опозданием	Время работы разное, объём общий	$A = w_1 t_1 + w_2 t_2$
Задача на «планировал/на самом деле»	Одна и та же величина ($S$ или $A$), два сценария времени	$\dfrac{S}{v_1} - \dfrac{S}{v_2} = \Delta t$

Правило составления уравнения. Выбрать неизвестное (обычно скорость или время одного из участников), выразить через него остальные величины по формулам выше, а затем использовать условие задачи (равенство, разность, сумма) как уравнение.

Правило проверки корней. Все физические величины — скорость, время, расстояние, производительность — должны быть положительными. Посторонние корни (отрицательные или дающие деление на 0) отбрасываются.

Как применять

Пример 1. Встречное движение. Расстояние между городами 300 км. Из них одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля. Один ехал со скоростью, на 10 км/ч большей, чем другой, и они встретились через 2,5 часа. Найдите скорость более медленного автомобиля.

Решение: пусть скорость медленного $v$ км/ч, тогда быстрого $v+10$. По формуле встречного движения: $$(v + v+10)\cdot 2{,}5 = 300$$ $$2v+10 = 120 \Rightarrow v = 55$$ Ответ: 55 км/ч.

Пример 2. Движение по реке. Собственная скорость катера 15 км/ч. Он прошёл 24 км по течению и вернулся обратно, затратив на весь путь 3,5 часа больше, чем если бы шёл по озеру (без течения) те же 48 км. Найдите скорость течения.

Решение: пусть скорость течения $x$. Время по реке: $$\frac{24}{15+x} + \frac{24}{15-x}$$ Время по озеру: $\dfrac{48}{15}$. Уравнение: $$\frac{24}{15+x} + \frac{24}{15-x} - \frac{48}{15} = 3{,}5$$ Приводим к общему знаменателю $15(15+x)(15-x)$, решаем и проверяем условие $0<x<15$. (Числовое решение получается стандартной техникой — умножением на общий знаменатель и приведением к квадратному уравнению.)

Пример 3. Совместная работа. Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 8 часов. Они начали работать вместе, но через 2 часа первый ушёл, и второй закончил работу один. Сколько всего часов длилась работа?

Решение: производительности $w_1=\dfrac{1}{6}$, $w_2=\dfrac{1}{8}$ (заказ за час). За 2 часа вместе выполнено: $$2\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\right) = 2\cdot\frac{7}{24} = \frac{7}{12}$$ Осталось выполнить $1-\dfrac{7}{12}=\dfrac{5}{12}$ второму рабочему: $$t = \frac{5/12}{1/8} = \frac{5}{12}\cdot 8 = \frac{10}{3}\text{ ч}$$ Общее время: $2+\dfrac{10}{3} = \dfrac{16}{3}$ ч $\approx 5{,}33$ ч.

Типичные ошибки

• Путаница со знаком течения. Забывают, что против течения скорость уменьшается, а не увеличивается — всегда проверяйте физический смысл.
• Неверное объединение времени и скорости. При встречном движении складывают скорости, а не пути делят на разные времена — важно понимать, что время у обоих участников одно и то же.
• Не учтён общий объём работы. Если работа не равна 1 (например, «заказ на 120 деталей»), нельзя использовать $A=1$, нужно явно вводить объём.
• Забыли проверить ОДР. Квадратное уравнение часто даёт два корня, но один из них отрицательный или не удовлетворяет условию (например, скорость течения больше собственной скорости катера) — такие корни отбрасываются.
• Смешение единиц измерения. Часы и минуты, километры и метры — при не приведении к одной системе получаются неверные уравнения.
• Неправильное составление уравнения при «опоздании/раньше». Часто путают знак разности времени: было "на столько-то часов больше" или "меньше" — нужно внимательно читать условие.

Где встречается на экзамене

Эта тема — это классическое задание №10 профильного ЕГЭ (текстовая задача, где нужно составить уравнение и решить его, дав числовой ответ). Также подобные модели могут встречаться в заданиях с параметром (№17) как часть более сложной задачи, где движение или работа — лишь один из этапов рассуждений.