Формулы сложных процентов и вкладов в задании 16 ЕГЭ

Коротко о главном

Задачи на вклады и кредиты в задании 16 сводятся к тому, что деньги на счёте каждый год (месяц) увеличиваются на определённый процент, а иногда ещё и происходит пополнение или снятие суммы. Ключевая идея: проценты начисляются на текущий остаток, а не на первоначальную сумму. Отсюда — геометрическая прогрессия и показательные уравнения.

Определения и формулы

Понятие	Формула	Пояснение
Простые проценты	$S_n = S_0(1+np)$	Проценты каждый год начисляются на исходную сумму $S_0$; $p$ — ставка в долях (например, 0,1 для 10%)
Сложные проценты	$S_n = S_0(1+p)^n$	Проценты начисляются на сумму с уже прибавленными процентами
Увеличение на $r\%$	множитель $\left(1+\dfrac{r}{100}\right)$	Умножаем текущую сумму на этот множитель
Уменьшение на $r\%$ (списание долга, инфляция)	множитель $\left(1-\dfrac{r}{100}\right)$	Сумма умножается на коэффициент меньше 1
Вклад с ежегодным пополнением на $a$	$S_{n} = S_{n-1}(1+p) + a$	Сначала начисляют проценты на остаток, потом добавляют $a$
Вклад со снятием суммы $a$	$S_{n} = S_{n-1}(1+p) - a$	Сначала проценты, потом снятие
Кредит с ежегодным платежом (сумма $S_0$, ставка $p$, годовой платёж $x$)	$S_n = S_{n-1}(1+p) - x$	Долг растёт на проценты, потом уменьшается на платёж; полное погашение: $S_n=0$
Аннуитетный платёж	$x = \dfrac{S_0 \cdot p (1+p)^n}{(1+p)^n - 1}$	Формула равных ежегодных платежей за $n$ лет

Важно: порядок действий в году всегда один — сначала начисление процентов на остаток, затем операция (пополнение/снятие/платёж), если по условию не сказано иначе.

Как применять

Пример 1. Простой вклад без движений Вклад 100000 р. под 10% годовых (сложные проценты) на 3 года. Найти сумму через 3 года.

$S_3 = 100000\cdot(1{,}1)^3 = 100000\cdot1{,}331 = 133100$ р.

Пример 2. Вклад с ежегодным пополнением Вклад 50000 р. под 20% годовых. Каждый год в конце года вкладчик добавляет 10000 р. Найти сумму через 2 года.

$S_1 = 50000\cdot1{,}2 + 10000 = 60000 + 10000 = 70000$

$S_2 = 70000\cdot1{,}2 + 10000 = 84000 + 10000 = 94000$ р.

Пример 3. Кредит с равными выплатами Взят кредит 300000 р. под 10% годовых на 2 года, выплата равными частями в конце каждого года так, чтобы долг был погашен полностью. Найти ежегодный платёж $x$.

После 1-го года: $S_1 = 300000\cdot1{,}1 - x = 330000-x$

После 2-го года (долг = 0): $S_2 = (330000-x)\cdot1{,}1 - x = 0$

$363000 - 1{,}1x - x = 0 \Rightarrow 363000 = 2{,}1x \Rightarrow x = 172857{,}14$ р. (округляем по условию задачи, обычно до целого рубля).

Типичные ошибки

• Путают порядок операций: сначала списывают/добавляют сумму, а потом начисляют проценты — вместо правильного порядка «сначала проценты, потом операция».
• Переводят проценты в доли неверно: $10\% \ne 0{,}01$, правильно $10\% = 0{,}1$.
• При уменьшении суммы (списание, инфляция) используют множитель $(1+p)$ вместо $(1-p)$.
• Не учитывают, что при расчёте кредита долг растёт на проценты каждый год, если платёж недостаточен, и составляют неверные рекуррентные уравнения.
• Ошибка в количестве периодов: путают, что после $n$-го года начисления сумма имеет степень $n$, а не $n-1$ или $n+1$.
• Забывают округлить ответ по требованию задачи (например, «наименьшее целое число месяцев» или «округлить до тысяч рублей»).

Где встречается на экзамене

Тема — основа задания 16 (экономическая задача) профильного ЕГЭ. Типичные формулировки: вклад под сложные проценты с ежегодным пополнением; кредит с аннуитетными или дифференцированными платежами; расчёт минимального взноса, чтобы долг был погашен за заданный срок; сравнение двух банковских предложений. Требуется составить рекуррентное соотношение, решить уравнение (часто линейное или через сумму геометрической прогрессии) и найти оптимальное целое значение параметра (ставки, суммы, срока).