Векторы: правила и формулы действий (ЕГЭ, профиль)

Коротко о главном

Вектор $\vec{a}$ — направленный отрезок, задаётся началом и концом или координатами. Действия с векторами: сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение. Все формулы сводятся к работе с координатами $(x; y)$ или $(x; y; z)$.

Определения и формулы/правила

Понятие	Формула/правило
Вектор по точкам $A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)$	$\vec{AB}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1)$
Длина (модуль) вектора	$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ (в пространстве $+z^2$)
Равенство векторов	равны координаты: $\vec{a}=\vec{b} \iff x_a=x_b,\ y_a=y_b$
Сложение векторов	$\vec{a}+\vec{b}=(x_a+x_b;\,y_a+y_b)$
Вычитание	$\vec{a}-\vec{b}=(x_a-x_b;\,y_a-y_b)$
Умножение на число $k$	$k\vec{a}=(kx_a;\,ky_a)$
Коллинеарность векторов	$\vec{a}\parallel \vec{b} \iff \dfrac{x_a}{x_b}=\dfrac{y_a}{y_b}$ (при $x_b,y_b\ne0$)
Скалярное произведение (координаты)	$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_ax_b+y_ay_b$
Скалярное произведение (через угол)	$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi$
Косинус угла между векторами	$\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$
Перпендикулярность	$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$
Координаты середины отрезка	$M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\,\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

Правило треугольника: $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$. Правило параллелограмма: сумма двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, — диагональ параллелограмма, построенного на них.

Как применять

Пример 1. Найти $\vec{AB}$, если $A(1;\,-2)$, $B(4;\,3)$. $\vec{AB}=(4-1;\,3-(-2))=(3;\,5)$. Длина: $|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$.

Пример 2. Даны $\vec{a}=(2;\,-1)$, $\vec{b}=(-3;\,4)$. Найти $\vec{a}+2\vec{b}$. $2\vec{b}=(-6;\,8)$; $\vec{a}+2\vec{b}=(2-6;\,-1+8)=(-4;\,7)$.

Пример 3. Проверить, перпендикулярны ли $\vec{a}=(1;\,3)$ и $\vec{b}=(6;\,-2)$. $\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot6+3\cdot(-2)=6-6=0$ — значит, векторы перпендикулярны.

Типичные ошибки

• Путают начало и конец вектора: $\vec{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A)$, а не наоборот.
• Забывают, что при коллинеарности пропорция координат должна выполняться сразу для всех компонент, а не для одной.
• Считают скалярное произведение как число, но путают его с модулем вектора (это разные вещи: $|\vec{a}|$ — число, но не результат умножения на другой вектор).
• Ошибки в знаках при вычитании координат точек или при умножении на отрицательное число.
• Забывают учитывать $z$-координату в задачах на пространство.

Где встречается на экзамене

Векторы проверяются в заданиях по планиметрии и стереометрии (в частности, в задании 2 профильного ЕГЭ по геометрии), а также как вспомогательный инструмент в задачах с координатным методом на поиск длин, углов и признаков параллельности/перпендикулярности прямых.