Теоремы стереометрии и свойства тел для базового ЕГЭ

Коротко о главном

В задании 13 базового ЕГЭ проверяют знание объёмов и площадей поверхностей многогранников и тел вращения, а также умение находить элементы этих тел (диагонали, сечения, углы) с помощью теорем стереометрии. Ключевая идея: свести пространственную задачу к плоской — выделить нужный треугольник или прямоугольник и применить теорему Пифагора или тригонометрию.

Определения и формулы

Основные теоремы

• Теорема Пифагора в пространстве: диагональ прямоугольного параллелепипеда $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна плоскости.
• Теорема о трёх перпендикулярах: если наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, то и её проекция перпендикулярна этой прямой.

Призма и параллелепипед

Тело	Объём	Площадь поверхности
Призма	$V=S_{осн}\cdot h$	$S=2S_{осн}+S_{бок}$
Прямоугольный параллелепипед	$V=abc$	$S=2(ab+bc+ac)$
Куб	$V=a^3$	$S=6a^2$

Пирамида

Величина	Формула
Объём	$V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h$
Площадь боковой поверхности (правильная пирамида)	$S_{бок}=\dfrac{1}{2}P_{осн}\cdot l$, где $l$ — апофема

Тела вращения

Тело	Объём	Площадь поверхности
Цилиндр	$V=\pi r^2 h$	$S=2\pi r(r+h)$
Конус	$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$	$S=\pi r(r+l)$, $l$ — образующая
Шар	$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$	$S=4\pi R^2$

Связь высоты и образующей конуса: $l^2=r^2+h^2$.

Отношение объёмов подобных тел

Если линейные размеры увеличены в $k$ раз, объём увеличивается в $k^3$ раз, площадь поверхности — в $k^2$ раз.

Как применять

Пример 1. Дан прямоугольный параллелепипед со сторонами 3, 4 и 12. Найдите диагональ.

По формуле: $d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$.

Пример 2. Объём конуса равен $12\pi$, радиус основания 3. Найдите высоту.

$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h \Rightarrow 12\pi=\dfrac{1}{3}\pi\cdot9\cdot h \Rightarrow 12=3h \Rightarrow h=4$.

Пример 3. Шар вписан в куб с ребром 6. Найдите объём шара.

Диаметр шара равен ребру куба, значит $R=3$. $V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot27=36\pi$.

Типичные ошибки

• Путают радиус и диаметр при подстановке в формулы объёма и площади шара, цилиндра, конуса.
• Забывают коэффициент $\dfrac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды и конуса.
• При изменении линейных размеров в $k$ раз считают, что объём меняется в $k$ раз, а не в $k^3$.
• Путают апофему пирамиды с боковым ребром при вычислении площади боковой поверхности.
• Неправильно достраивают прямоугольный треугольник для применения теоремы Пифагора в пространственной фигуре.

Где встречается на экзамене

Задание 13 базового ЕГЭ по математике: вычисление объёма или площади поверхности многогранника, цилиндра, конуса или шара; нахождение элементов тела (диагоналей, высот, радиусов) через теорему Пифагора и свойства подобия; сравнение объёмов при изменении масштаба фигуры.