Теоремы планиметрии и свойства фигур — справочник для ЕГЭ база

Коротко о главном

Планиметрия изучает свойства плоских фигур: треугольников, четырёхугольников, окружностей. В задании 12 ЕГЭ база чаще всего нужно найти угол, длину отрезка или площадь, используя одну-две теоремы: теорему Пифагора, свойства вписанных углов, теорему о сумме углов треугольника, признаки подобия, свойства параллелограмма и трапеции. Задача решается быстро, если сразу узнать «опорную» теорему по картинке.

Определения и формулы/правила

Фигура/теорема	Формулировка	Формула
Сумма углов треугольника	Сумма углов любого треугольника равна $180°$	$\alpha+\beta+\gamma=180°$
Теорема Пифагора	В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов	$c^2=a^2+b^2$
Теорема синусов	Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов	$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
Теорема косинусов	Обобщение теоремы Пифагора для любого треугольника	$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
Средняя линия треугольника	Соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине	$MN=\dfrac{1}{2}AC$
Вписанный угол	Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается	$\angle ABC=\dfrac12 \overset{\frown}{AC}$
Угол, опирающийся на диаметр	Если сторона треугольника — диаметр окружности, угол против неё равен $90°$	$\angle C=90°$
Свойство параллелограмма	Диагонали делятся точкой пересечения пополам; противоположные стороны и углы равны	$AO=OC,\ BO=OD$
Свойство трапеции	Средняя линия равна полусумме оснований	$m=\dfrac{a+b}{2}$
Свойство равнобедренного треугольника	Углы при основании равны; высота, проведённая к основанию, — медиана и биссектриса	$\alpha=\beta$
Площадь треугольника	Через основание и высоту, либо через две стороны и угол между ними	$S=\dfrac12 ah=\dfrac12 ab\sin\gamma$
Площадь круга и длина окружности	Через радиус $R$	$S=\pi R^2,\ L=2\pi R$

Как применять

Пример 1. В треугольнике $ABC$ угол $A=90°$, $AB=6$, $AC=8$. Найти $BC$. По теореме Пифагора: $BC^2=6^2+8^2=36+64=100$, значит $BC=10$.

Пример 2. Вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, равную $100°$. Найти угол $ABC$. По свойству вписанного угла: $\angle ABC=\dfrac{100°}{2}=50°$.

Пример 3. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. $AO=5$, $BO=7$. Найти диагонали $AC$ и $BD$. По свойству параллелограмма диагонали делятся пополам: $AC=2\cdot AO=10$, $BD=2\cdot BO=14$.

Типичные ошибки

• Путают катет и гипотенузу — гипотенуза всегда лежит против прямого угла и она самая длинная сторона.
• Считают, что вписанный угол равен дуге, а не её половине — забывают делить на 2.
• Применяют свойства параллелограмма к произвольному четырёхугольнику, где диагонали не делятся пополам.
• Путают среднюю линию треугольника (равна половине третьей стороны) со средней линией трапеции (равна полусумме оснований).
• Забывают проверить, что треугольник действительно прямоугольный, перед использованием теоремы Пифагора.

Где встречается на экзамене

В задании 12 ЕГЭ база планиметрия проверяет умение находить угол, длину стороны или площадь фигуры по чертежу, используя базовые теоремы: Пифагора, вписанного угла, свойства параллелограмма, трапеции и равнобедренного треугольника. Такие задачи решаются устно за 1–2 шага, если сразу распознать нужное свойство.