Решение неравенств методом интервалов — теория для ЕГЭ

Коротко о главном

Метод интервалов — способ решения неравенств вида $f(x) \gtrless 0$, когда $f(x)$ представлена как произведение или частное множителей. Идея: находим точки, где функция равна нулю или не существует, отмечаем их на числовой прямой, а затем определяем знак функции на каждом промежутке между этими точками.

Определения и правила

Понятие	Пояснение
Нули функции	Точки, где $f(x)=0$. Разбивают числовую прямую на интервалы.
Точки разрыва (ОДЗ)	Точки, где знаменатель равен 0 — функция не определена, эти точки всегда «выколоты».
Знак на интервале	На каждом интервале между соседними особыми точками знак функции постоянен.
Кратность корня	Если множитель $(x-a)$ входит в чётной степени — знак не меняется при переходе через $a$; если в нечётной степени — знак меняется.
Строгое неравенство ($>,<$)	Точки-нули и точки разрыва — выколотые (не входят в ответ).
Нестрогое неравенство ($\ge,\le$)	Нули функции включаются в ответ (закрашенные точки), точки разрыва — всегда выколоты.

Алгоритм:

1. Перенести все члены в одну сторону, чтобы получить вид $f(x) \gtrless 0$.
2. Разложить $f(x)$ на множители (если можно).
3. Найти нули числителя и знаменателя, отметить их на прямой.
4. Определить знак на самом правом интервале (обычно подстановкой большого числа) и расставить знаки, двигаясь влево, учитывая кратность корней.
5. Выбрать нужные интервалы согласно знаку неравенства, учесть выколотые/закрашенные точки.

Как применять

Пример 1. Решить неравенство $(x-2)(x+3) < 0$.

Нули: $x=2$, $x=-3$ (оба простые, кратность 1). На прямой три интервала. Проверим точку $x=10$: $(10-2)(10+3)=8\cdot13>0$ — справа знак «+». Так как оба корня простые, знаки чередуются: справа от 2 «+», между -3 и 2 «−», слева от -3 «+».

Нужен знак «−»: ответ $x \in (-3; 2)$.

Пример 2. Решить неравенство $\dfrac{(x-1)^2(x+4)}{x-5} \ge 0$.

Особые точки: $x=1$ (кратность 2 — знак не меняется), $x=-4$ (кратность 1), $x=5$ (точка разрыва, кратность 1, знак меняется, точка выколота).

Проверим $x=10$: числитель $(9)^2\cdot14>0$, знаменатель $5>0$ — знак «+».

Расставляем справа налево:

• $x>5$: «+»
• при переходе через 5 (нечётная кратность) знак меняется: на $(1;5)$ — «−»
• при переходе через 1 (чётная кратность) знак не меняется: на $(-4;1)$ — «−»
• при переходе через $-4$ (нечётная кратность) знак меняется: при $x<-4$ — «+»

Нужен знак «$\ge 0$»: берём интервалы со знаком «+» и нули числителя (но не $x=5$, там разрыв).

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{1\} \cup (5; +\infty)$.

Пример 3. Решить неравенство $x^2-4 \le 0$.

Разложим: $(x-2)(x+2)\le 0$. Нули $x=\pm2$, простые. При $x=10$ знак «+», значит справа от 2 «+», между -2 и 2 «−», слева от -2 «+».

Нужно $\le 0$ — интервал со знаком «−» плюс нули (нестрогое неравенство).

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

Типичные ошибки

• Забывают про ОДЗ: если в неравенстве есть дробь или корень, точки, обращающие знаменатель в 0 или делающие выражение под корнем отрицательным, нужно исключить из ответа.
• Путают чётную и нечётную кратность: при чётной степени множителя знак функции при переходе через корень не меняется — это частая причина неверного ответа.
• Включают точки разрыва в ответ: даже при нестрогом неравенстве точки, где знаменатель равен нулю, всегда выколоты.
• Не приводят неравенство к виду $f(x) \gtrless 0$: пытаются сравнивать знаки, не перенеся все члены в одну часть, что приводит к ошибкам при делении на выражения с переменной.
• Забывают знак "=" в нестрогих неравенствах — не включают нули функции в ответ там, где это необходимо.

Где встречается на экзамене

Метод интервалов — основной инструмент в заданиях на решение рациональных, показательных и логарифмических неравенств, встречающихся в задании 18 профильного и базового уровня ЕГЭ. Также применяется как промежуточный шаг при решении неравенств с модулем, дробно-рациональных неравенств и при исследовании знака функции в задачах на числовую прямую.