Решение линейных и квадратных уравнений — теория для ЕГЭ (база)

Коротко о главном

Линейное уравнение имеет вид $ax+b=0$ и решается переносом слагаемых. Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$ и решается через дискриминант $D=b^2-4ac$. Число корней зависит от знака $D$: два корня, один корень или их нет. Эти уравнения — основа многих текстовых и практических задач ЕГЭ.

Определения и формулы/правила

Линейное уравнение $ax+b=0$, где $a\neq0$: $$x=-\dfrac{b}{a}$$ Если $a=0$ и $b=0$ — бесконечно много решений; если $a=0$ и $b\neq0$ — решений нет.

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где $a\neq0$: $$D=b^2-4ac$$

Значение $D$	Число корней	Формула корней
$D>0$	два корня	$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
$D=0$	один корень	$x=-\dfrac{b}{2a}$
$D<0$	корней нет	—

Приведённое уравнение ($a=1$): $x^2+px+q=0$.

Теорема Виета для приведённого уравнения: $$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q$$ Для общего вида $ax^2+bx+c=0$: $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$$

Неполные квадратные уравнения:

• $ax^2+c=0 \Rightarrow x^2=-\dfrac{c}{a}$ (корни существуют, если $-\dfrac{c}{a}\ge0$);
• $ax^2+bx=0 \Rightarrow x(ax+b)=0 \Rightarrow x_1=0,\ x_2=-\dfrac{b}{a}$.

Как применять

Пример 1 (линейное уравнение). Решить $3x-7=2x+5$. Переносим слагаемые: $3x-2x=5+7$, значит $x=12$.

Пример 2 (квадратное уравнение через дискриминант). Решить $x^2-5x+6=0$. $D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$. $x_{1,2}=\dfrac{5\pm1}{2}$, значит $x_1=3,\ x_2=2$.

Пример 3 (неполное квадратное уравнение). Решить $2x^2-8x=0$. Выносим $x$: $x(2x-8)=0$, отсюда $x_1=0$ или $x_2=4$.

Типичные ошибки

• Потеря корня при делении обеих частей на переменную (нужно выносить множитель, а не делить).
• Ошибка в знаке при переносе слагаемого через знак равенства.
• Неверное вычисление дискриминанта — забывают квадрат или знак произведения $4ac$.
• Извлечение корня из $D<0$ без проверки знака (в действительных числах решений нет).
• Путаница в формулах Виета: сумма корней равна $-\dfrac{b}{a}$, а не $\dfrac{b}{a}$.

Где встречается на экзамене

В задании 17 линейные и квадратные уравнения часто возникают при составлении модели текстовой задачи (движение, работа, проценты, смеси). После перевода условия на язык алгебры получают уравнение именно такого вида, которое нужно решить и проверить полученный корень на соответствие смыслу задачи (например, положительность времени или количества).