Задание 17 ЕГЭ база: линейные, квадратные, иррациональные, показательные и логарифмические уравнения

Что проверяет задание

Задание 17 проверяет умение решать простейшие уравнения разных типов: линейные, квадратные, кубические, иррациональные, показательные и логарифмические. Это базовый навык школьной алгебры, который требует не творческого подхода, а точного знания алгоритмов и аккуратности в вычислениях.

Проверяются три вещи: знание стандартных приёмов преобразования уравнений, умение избегать типичных ошибок при возведении в степень или переходе к другому основанию, и способность довести решение до числового ответа без арифметических промахов.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Найдите корень уравнения...» или «Решите уравнение... Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший (меньший) из них». Иногда просят указать сумму корней или количество решений.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная дробь, которую нужно записать в специальное поле бланка. Дробные ответы записываются через запятую (например, 0,2), без пробелов и лишних символов.

Времени на это задание уходит немного — обычно 2–4 минуты, если алгоритм отработан. Ошибка чаще всего связана не с непониманием темы, а с невнимательностью при переносе слагаемых или раскрытии скобок.

Что нужно знать

• Линейное уравнение: $ax+b=0$, решение $x=-\dfrac{b}{a}$ при $a\neq0$.
• Квадратное уравнение: $ax^2+bx+c=0$, дискриминант $D=b^2-4ac$.
• Корни квадратного уравнения: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D>0$ — два корня, если $D=0$ — один корень, если $D<0$ — корней нет.
• Теорема Виета: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Кубическое уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$ часто решается через разложение на множители или подбор целого корня среди делителей свободного члена.
• Иррациональное уравнение содержит переменную под корнем: $\sqrt{f(x)}=g(x)$. Решение через возведение в квадрат с обязательной проверкой ОДЗ и условия $g(x)\geq0$.
• Показательное уравнение: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ равносильно $f(x)=g(x)$ при $a>0,\ a\neq1$.
• Логарифмическое уравнение: $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ равносильно системе $f(x)=g(x)$, $f(x)>0$ (или $g(x)>0$).
• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$.
• Свойства логарифмов: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.

Методы решения

1. Метод переноса и приведения подобных (линейные уравнения). Все члены с переменной переносятся в одну сторону, свободные члены — в другую, затем уравнение делится на коэффициент при переменной. Пример: $5x+3=2x+12$. Переносим: $5x-2x=12-3$, получаем $3x=9$, отсюда $x=3$.

2. Метод дискриминанта (квадратные уравнения). Уравнение приводится к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$, вычисляется дискриминант, затем корни по формуле. Пример: $x^2-5x+6=0$. Дискриминант $D=25-24=1$, корни $x_{1,2}=\dfrac{5\pm1}{2}$, то есть $x_1=3$, $x_2=2$.

3. Метод разложения на множители (кубические уравнения). Ищется целый корень среди делителей свободного члена, затем многочлен делится на $(x-x_0)$, понижается степень. Пример: $x^3-x=0$. Выносим $x$: $x(x^2-1)=0$, то есть $x(x-1)(x+1)=0$, корни $0,\ 1,\ -1$.

4. Возведение в степень с проверкой (иррациональные уравнения). Уравнение $\sqrt{f(x)}=g(x)$ возводится в квадрат: $f(x)=g^2(x)$, но обязательно проверяется, что $g(x)\geq0$ и найденный корень удовлетворяет исходному уравнению. Пример: $\sqrt{2x+3}=3$. Возводим в квадрат: $2x+3=9$, $x=3$. Проверка: $\sqrt{9}=3$ — верно.

5. Приведение к одному основанию (показательные и логарифмические уравнения). Обе части приводятся к степеням одного основания или к логарифмам одного основания, затем приравниваются показатели или аргументы. Пример: $2^{x+1}=8$. Записываем $8=2^3$, получаем $x+1=3$, отсюда $x=2$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определите тип уравнения — линейное, квадратное, кубическое, иррациональное, показательное или логарифмическое.
2. Если есть скобки, раскройте их, используя распределительный закон умножения.
3. Перенесите все слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую (для линейных и приводимых к линейным уравнений).
4. Для квадратных и кубических уравнений приведите к стандартному виду и примените дискриминант или разложение на множители.
5. Для иррациональных, показательных и логарифмических уравнений выполните необходимое преобразование (возведение в степень, приведение к общему основанию) и обязательно учтите область допустимых значений.
6. Решите получившееся простое уравнение.
7. Проверьте найденный корень подстановкой в исходное уравнение — особенно важно для иррациональных и логарифмических уравнений, где могут появиться посторонние корни.
8. Если корней несколько, внимательно прочитайте вопрос: нужен больший, меньший корень или сумма всех корней.
9. Запишите ответ в требуемом формате (целое число или десятичная дробь через запятую).

Разбор примеров

Пример 1. Найдите корень уравнения $2+9x=4x+3$.

Шаг 1. Переносим слагаемые с переменной в левую часть, числа — в правую: $$9x-4x=3-2$$

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые: $$5x=1$$

Шаг 3. Делим обе части на коэффициент при $x$: $$x=\frac{1}{5}=0{,}2$$

Шаг 4. Проверка: подставляем $x=0{,}2$ в исходное уравнение. Левая часть: $2+9\cdot0{,}2=2+1{,}8=3{,}8$. Правая часть: $4\cdot0{,}2+3=0{,}8+3=3{,}8$. Равенство выполняется.

Ответ: $0{,}2$.

Пример 2. Найдите корень уравнения $x^2+10x=-16$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Шаг 1. Приводим уравнение к стандартному виду, перенося все члены в левую часть: $$x^2+10x+16=0$$

Шаг 2. Вычисляем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$, где $a=1,\ b=10,\ c=16$: $$D=10^2-4\cdot1\cdot16=100-64=36$$

Шаг 3. Так как $D>0$, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле: $$x_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\frac{-10\pm6}{2}$$

Шаг 4. Вычисляем оба значения: $$x_1=\frac{-10+6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$ $$x_2=\frac{-10-6}{2}=\frac{-16}{2}=-8$$

Шаг 5. По условию нужен меньший корень. Сравниваем $-2$ и $-8$: меньшим является $-8$.

Шаг 6. Проверка: подставляем $x=-8$ в исходное уравнение. $(-8)^2+10\cdot(-8)=64-80=-16$ — совпадает с правой частью.

Ответ: $-8$.

Пример 3. Найдите корень уравнения $8(6+x)+2x=8$.

Шаг 1. Раскрываем скобки, умножая 8 на каждое слагаемое внутри скобок: $$8\cdot6+8\cdot x+2x=8$$ $$48+8x+2x=8$$

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые с переменной: $$48+10x=8$$

Шаг 3. Переносим свободный член в правую часть: $$10x=8-48$$ $$10x=-40$$

Шаг 4. Делим обе части на коэффициент при $x$: $$x=\frac{-40}{10}=-4$$

Шаг 5. Проверка: подставляем $x=-4$ в исходное уравнение. $8(6+(-4))+2\cdot(-4)=8\cdot2-8=16-8=8$ — верно.

Ответ: $-4$.

Типичные ошибки и ловушки

Ошибка при переносе слагаемых. При переносе члена из одной части уравнения в другую нужно менять знак. Частая небрежность — забыть поменять знак или перепутать, какие слагаемые переносятся.

Ошибка при раскрытии скобок. Если перед скобкой стоит число или знак минус, забывают умножить на него каждое слагаемое внутри скобок, что искажает всё дальнейшее решение.

Потеря корня при делении. Нельзя делить уравнение на выражение, содержащее переменную, если оно может равняться нулю — это приводит к потере корня.

Неправильный выбор корня в квадратном уравнении. Если задание просит указать больший или меньший корень, важно не перепутать, какой из найденных корней таковым является, особенно когда оба отрицательные.

Отсутствие проверки ОДЗ в иррациональных и логарифмических уравнениях. Возведение в квадрат может создать посторонний корень, который не удовлетворяет исходному уравнению; логарифм определён только для положительного аргумента.

Ошибки в знаках при работе с отрицательными числами. Особенно часто путаница возникает при вычислении дискриминанта и при сложении отрицательных чисел на последнем шаге.

Неверный формат записи ответа. Дробный ответ нужно записывать через запятую, а не через точку, и без лишних нулей.

Как готовиться

Отработайте пошаговый алгоритм на каждом типе уравнений отдельно: сначала линейные, затем квадратные, потом переходите к более сложным — иррациональным, показательным и логарифмическим. Решайте по 10–15 однотипных заданий в день, постепенно увеличивая скорость без потери точности.

Заведите привычку всегда делать проверку найденного корня подстановкой в исходное уравнение — это позволяет выявлять арифметические ошибки и посторонние корни сразу, не дожидаясь итоговой проверки.

Выучите наизусть формулы дискриминанта, теоремы Виета, свойства степеней и логарифмов — на экзамене не должно быть колебаний в том, какую формулу применить.

Особое внимание уделите заданиям, где после нахождения нескольких корней нужно выбрать конкретный (больший, меньший, сумму). Тренируйтесь внимательно читать условие до конца перед записью ответа.

Разбирайте свои ошибки: если допустили промах, выясните, на каком именно шаге алгоритма это произошло — перенос, раскрытие скобок, вычисление дискриминанта или проверка ОДЗ. Так вы закроете конкретный пробел, а не будете повторять одну и ту же ошибку.

Используйте черновик для промежуточных вычислений, но переносите в бланк только финальный проверенный ответ. Регулярная практика с разными типами уравнений сделает решение задания 17 автоматическим навыком, который не требует много времени на экзамене.