Задание 17: Простейшие уравнения

Типичная формулировка: «Найдите корень уравнения...» или «Решите уравнение... Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший (меньший) из них». Иногда просят указать сумму корней или количество решений.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная дробь, которую нужно записать в специальное поле бланка. Дробные ответы записываются через запятую (например, 0,2), без пробелов и лишних символов.

…

• Линейное уравнение: $ax+b=0$, решение $x=-\dfrac{b}{a}$ при $a\neq0$.
• Квадратное уравнение: $ax^2+bx+c=0$, дискриминант $D=b^2-4ac$.
• Корни квадратного уравнения: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D>0$ — два корня, если $D=0$ — один корень, если $D<0$ — корней нет.
• Теорема Виета: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Кубическое уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$ часто решается через разложение на множители или подбор целого корня среди делителей свободного члена.
• Иррациональное уравнение содержит переменную под корнем: $\sqrt{f(x)}=g(x)$. Решение через возведение в квадрат с обязательной проверкой ОДЗ и условия $g(x)\geq0$.
• Показательное уравнение: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ равносильно $f(x)=g(x)$ при $a>0,\ a\neq1$.
• Логарифмическое уравнение: $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ равносильно системе $f(x)=g(x)$, $f(x)>0$ (или $g(x)>0$).
• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$.
• Свойства логарифмов: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.

1. Определите тип уравнения — линейное, квадратное, кубическое, иррациональное, показательное или логарифмическое.
2. Если есть скобки, раскройте их, используя распределительный закон умножения.
3. Перенесите все слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую (для линейных и приводимых к линейным уравнений).
4. Для квадратных и кубических уравнений приведите к стандартному виду и примените дискриминант или разложение на множители.
5. Для иррациональных, показательных и логарифмических уравнений выполните необходимое преобразование (возведение в степень, приведение к общему основанию) и обязательно учтите область допустимых значений.
6. Решите получившееся простое уравнение.
7. Проверьте найденный корень подстановкой в исходное уравнение — особенно важно для иррациональных и логарифмических уравнений, где могут появиться посторонние корни. …