Признаки делимости и свойства чисел для ЕГЭ (задание 19)

Коротко о главном

Задание 19 проверяет умение работать с целыми числами: искать примеры, доказывать невозможность ситуации, применять признаки делимости и свойства чётности/простоты чисел. Здесь нет сложных формул — нужна логика и знание базовых правил делимости.

Определения и формулы/правила

Признаки делимости

Делится на	Признак
2	последняя цифра чётная (0,2,4,6,8)
3	сумма цифр делится на 3
4	две последние цифры образуют число, делящееся на 4
5	последняя цифра 0 или 5
6	делится и на 2, и на 3
9	сумма цифр делится на 9
10	последняя цифра 0
25	две последние цифры — 00, 25, 50 или 75

Чётность: $$\text{чёт}+\text{чёт}=\text{чёт},\quad \text{нечёт}+\text{нечёт}=\text{чёт},\quad \text{чёт}+\text{нечёт}=\text{нечёт}$$ $$\text{чёт}\cdot\text{любое}=\text{чёт},\quad \text{нечёт}\cdot\text{нечёт}=\text{нечёт}$$

Простые и составные числа:

• Простое число — делится только на 1 и на себя (2, 3, 5, 7, 11, 13, …).
• Число 1 не простое и не составное.
• Составное число имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и себя.
• Любое составное число можно разложить на простые множители.

Деление с остатком: $$a = b\cdot q + r,\quad 0 \le r < b$$ где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — частное, $r$ — остаток.

Полезные факты:

• Сумма $n$ последовательных чисел от 1 до $n$: $\dfrac{n(n+1)}{2}$.
• Произведение любых двух последовательных чисел делится на 2.
• Произведение трёх последовательных чисел делится на 6.
• Если число делится на $a$ и на $b$, где $a$ и $b$ взаимно просты, то оно делится на $ab$.

Как применять

Пример 1. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 15, у которого сумма цифр равна 24. Решение: число должно делиться на 3 и на 5 (15 = 3·5). Делимость на 5 — последняя цифра 0 или 5. Возьмём последнюю цифру 0, сумма оставшихся цифр должна быть 24. Наименьшее число с минимальным количеством разрядов и суммой цифр 24: цифры 6,9,9 → 699, добавляем 0 в конец: 6990. Проверка: сумма цифр $6+9+9+0=24$, делится на 3 и оканчивается на 0 — делится на 5. Значит, делится на 15.

Пример 2. Существуют ли пять последовательных натуральных чисел, сумма которых является простым числом? Решение: сумма пяти последовательных чисел $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ равна $5n+10=5(n+2)$. Это число всегда делится на 5, то есть составное (кроме случая, когда сама сумма равна 5, что невозможно для пяти натуральных чисел ≥1, минимальная сумма 1+2+3+4+5=15). Ответ: не существуют.

Пример 3. Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6. Решение: среди трёх последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно чётное — значит, произведение делится на 2. Также среди трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3 (остатки при делении на 3 — 0,1,2 циклично). Так как 2 и 3 взаимно просты, произведение делится на $2\cdot3=6$.

Типичные ошибки

• Путают признак делимости на 3 и на 9 — забывают, что для 9 нужна сумма цифр кратная именно 9, а не 3.
• Считают число 1 простым.
• Забывают, что 0 — чётное число и делится на любое натуральное число.
• При работе с остатками не учитывают ограничение $0 \le r < b$, допускают отрицательный остаток.
• Складывают признаки делимости неверно: думают, что если число делится на $a$ и на $b$, то делится на $a+b$ — это не так, важна именно взаимная простота множителей.

Где встречается на экзамене

Задание 19 базового ЕГЭ регулярно строится на числовых свойствах: подбор чисел по нескольким условиям делимости, доказательство существования/несуществования числа с заданными свойствами, работа с суммой цифр, чётностью, простыми числами. Часто требуется привести конкретный пример или обосновать, почему пример невозможен — логика важнее вычислений.