Основы теории вероятностей — теория для ЕГЭ база

Коротко о главном

Вероятность события — число от 0 до 1, показывающее, насколько вероятно наступление события. Чем ближе к 1 — тем вероятнее событие. В базовом ЕГЭ почти все задачи решаются через классическую формулу вероятности и простые правила сложения/умножения.

Определения и формулы/правила

Понятие	Формула/правило	Пояснение
Классическая вероятность	$P(A)=\dfrac{m}{n}$	$m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов
Диапазон вероятности	$0 \le P(A) \le 1$	0 — событие невозможно, 1 — событие достоверно
Противоположное событие	$P(\bar A)=1-P(A)$	Сумма вероятностей события и его противоположности равна 1
Сложение вероятностей (несовместные события)	$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$	Применяется, если A и B не могут произойти одновременно
Умножение вероятностей (независимые события)	$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$	Применяется, если события не влияют друг на друга
Сумма вероятностей всех исходов	$\sum P(A_i)=1$	Полная группа несовместных событий

Как определить общее число исходов $n$:

• Если бросают монету — 2 исхода (орёл/решка).
• Если бросают кубик — 6 исходов.
• Если выбирают один предмет из группы — число исходов равно числу предметов.
• Если событие состоит из двух последовательных действий — число исходов умножается: $n = n_1 \cdot n_2$.

Как применять

Пример 1. Классическая вероятность. В коробке 10 шаров: 3 красных, 7 синих. Наугад берут один шар. Найдите вероятность, что он красный.

Решение: благоприятных исходов $m=3$, всего $n=10$. $$P=\frac{3}{10}=0,3$$

Пример 2. Противоположное событие. Вероятность того, что новый телефон сломается в течение года, равна 0,02. Найдите вероятность, что телефон не сломается.

Решение: $$P(\bar A)=1-0,02=0,98$$

Пример 3. Умножение независимых событий. Бросают два кубика. Найдите вероятность, что на обоих выпадет 6.

Решение: события независимы, каждое с вероятностью $\dfrac{1}{6}$. $$P=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$

Типичные ошибки

• Путают благоприятные и общие исходы. Нужно чётко разделять: что считаем «успехом» ($m$), а что — всеми возможными вариантами ($n$).
• Забывают, что события должны быть равновозможными, чтобы применять классическую формулу напрямую.
• Складывают вероятности несовместных и совместных событий одинаково. Формула сложения без поправки работает только для несовместных событий.
• Не проверяют ответ на здравый смысл. Вероятность не может быть больше 1 или отрицательной — если получилось иначе, в решении ошибка.
• Ошибка в подсчёте общего числа исходов при комбинированных событиях (забывают умножить количество вариантов на каждом шаге).

Где встречается на экзамене

Теория вероятностей — тема задания №5 базового ЕГЭ по математике. Обычно это одна текстовая задача на применение классической формулы вероятности, иногда с элементами сложения или умножения вероятностей (монеты, кубики, шары, лотерейные билеты, приборы). Ответ — число (десятичная дробь), которое нужно ввести в бланк без округления, если не сказано иное.