Задание 5 ЕГЭ база: классическая вероятность и теоремы о событиях

Что проверяет задание

Задание 5 профильной... нет, базовой части ЕГЭ по математике проверяет умение находить вероятность случайного события по классическому определению, а также применять простейшие теоремы о вероятностях: сложение вероятностей несовместных событий и вероятность противоположного события. Задача всегда сводится к подсчёту общего числа равновозможных исходов и числа исходов, благоприятствующих нужному событию.

В основе всех задач лежит формула классической вероятности:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Из группы предметов (билетов, машин, каналов, шаров) случайным образом выбирается один. Найдите вероятность того, что...». Задание оценивается в 1 балл, ответом служит число — обычно десятичная дробь, которую нужно записать в бланк без округления, если оно точное, или с округлением до указанного знака.

Важная особенность базового ЕГЭ: числа в условии подобраны так, чтобы вероятность выражалась конечной десятичной дробью (например, 0,95; 0,8; 0,4), поэтому дробь $\frac{m}{n}$ всегда можно привести к виду со знаменателем 10, 100 или 1000.

Что нужно знать

• Классическое определение вероятности: $P(A)=\dfrac{m}{n}$, где $n$ — число всех элементарных равновозможных исходов, $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.
• Вероятность любого события лежит в пределах: $0\le P(A)\le 1$.
• Вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.
• Формула вероятности противоположного события: $P(\bar A)=1-P(A)$, где $\bar A$ — событие, состоящее в том, что $A$ не произошло.
• Теорема сложения вероятностей несовместных событий: если события $A$ и $B$ не могут произойти одновременно, то $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
• Сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1: если события образуют полную группу несовместных событий, то $\sum P(A_i)=1$.
• Если исходы разбиты на несколько групп (например, по цвету, по типу), то вероятность попадания в объединённую группу равна сумме вероятностей попадания в каждую из групп по отдельности.

Методы решения

Метод 1. Прямой подсчёт благоприятных исходов. Нужное событие описывает конкретную группу объектов, и остаётся просто разделить количество нужных объектов на общее количество. Пример: в урне 20 шаров, из них 8 красных. Вероятность достать красный шар: $P=\dfrac{8}{20}=0{,}4$.

Метод 2. Через противоположное событие. Если проще найти вероятность того, что событие не произойдёт, используют формулу $P(A)=1-P(\bar A)$. Пример: из 60 вопросов 3 не выучены — вероятность попасть на невыученный вопрос $P(\bar A)=\dfrac{3}{60}$, тогда вероятность попасть на выученный: $P(A)=1-\dfrac{3}{60}=\dfrac{57}{60}=0{,}95$.

Метод 3. Сложение вероятностей нескольких благоприятных групп. Если благоприятный исход относится к нескольким непересекающимся категориям, их количества складывают, а затем делят на общее число. Пример: из 20 машин зелёных 8 и жёлтых 2 — вероятность приезда зелёной или жёлтой машины: $P=\dfrac{8+2}{20}=0{,}5$.

Метод 4. Вычисление через дополняющие группы (несколько категорий). Если известны количества по всем категориям кроме одной, недостающую находят вычитанием из общего числа, а затем применяют классическую формулу. Пример: всего 45 каналов, «новостных» 9, значит «не новостных» $45-9=36$, вероятность попасть на канал без новостей: $P=\dfrac{36}{45}=0{,}8$.

Метод 5. Проверка через сумму вероятностей полной группы. Если объекты разбиты на несколько групп без остатка, сумма вероятностей попадания в каждую группу должна равняться 1. Это удобно для самопроверки: посчитав вероятность одной группы, можно проверить оставшиеся через вычитание из 1.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить общее число всех равновозможных исходов $n$ — это общее количество объектов (билетов, машин, каналов, шаров и т. д.), из которых происходит случайный выбор.
2. Определить, что именно считается благоприятным исходом согласно вопросу задачи — внимательно прочитать, о каком событии спрашивают: о самом событии или о противоположном ему.
3. Найти число благоприятных исходов $m$: либо посчитать напрямую, либо вычислить через вычитание (общее число минус исходы других категорий).
4. Если удобнее считать через противоположное событие, сначала найти вероятность противоположного события $P(\bar A)=\dfrac{m'}{n}$, а затем применить $P(A)=1-P(\bar A)$.
5. Если благоприятный исход объединяет несколько категорий, сложить количества исходов этих категорий, получив общее $m$.
6. Подставить значения в формулу $P(A)=\dfrac{m}{n}$ и вычислить дробь, приведя её к десятичному виду.
7. Сверить полученное число с условием: вероятность должна лежать между 0 и 1, а результат — соответствовать смыслу задачи (высокая вероятность для частых событий, низкая — для редких).

Разбор примеров

Пример 1. На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный вопрос.

Шаг 1. Общее число исходов — общее количество вопросов: $n=60$.

Шаг 2. Событие $A$ — «попался выученный вопрос». Проще определить вероятность противоположного события $\bar A$ — «попался невыученный вопрос», так как известно точное количество невыученных вопросов.

Шаг 3. Число благоприятных исходов для $\bar A$: $m'=3$ (невыученные вопросы).

Шаг 4. Вероятность противоположного события: $$P(\bar A)=\frac{3}{60}=0{,}05$$

Шаг 5. По формуле вероятности противоположного события: $$P(A)=1-P(\bar A)=1-0{,}05=0{,}95$$

Ответ: $0{,}95$.

Пример 2. Телевизор включается на случайном канале. По девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадёт на канал, где новости не идут.

Шаг 1. Общее число исходов — общее количество каналов: $n=45$.

Шаг 2. Событие $A$ — «попала на канал без новостей». Известно число каналов с новостями, поэтому число каналов без новостей находим вычитанием из общего количества.

Шаг 3. Число благоприятных исходов: $$m=45-9=36$$

Шаг 4. Применяем классическую формулу вероятности: $$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{36}{45}$$

Шаг 5. Сокращаем дробь: наибольший общий делитель 36 и 45 равен 9, поэтому $$P(A)=\frac{36}{45}=\frac{4}{5}=0{,}8$$

Ответ: $0{,}8$.

Пример 3. Свободно 20 машин: 10 чёрных, 2 жёлтых и 8 зелёных. Найдите вероятность того, что приедет зелёное такси.

Шаг 1. Общее число исходов — общее количество машин: $n=20$.

Шаг 2. Событие $A$ — «приехала зелёная машина». Число зелёных машин указано напрямую, дополнительных вычислений с другими категориями не требуется.

Шаг 3. Число благоприятных исходов: $m=8$ (зелёные машины).

Шаг 4. Применяем классическую формулу: $$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{8}{20}$$

Шаг 5. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $$P(A)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=0{,}4$$

Ответ: $0{,}4$.

Полезно заметить: сумма вероятностей для всех трёх цветов машин должна давать 1. Проверим: чёрные — $\dfrac{10}{20}=0{,}5$, жёлтые — $\dfrac{2}{20}=0{,}1$, зелёные — $0{,}4$. Сумма: $0{,}5+0{,}1+0{,}4=1$, что подтверждает правильность расчёта.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между числом благоприятных исходов и общим числом исходов — иногда в условии указано число объектов «с нужным свойством», а не общее количество, и наоборот. Важно чётко разделять эти величины перед подстановкой в формулу.
• Забывают перейти к противоположному событию, когда это упрощает расчёт, и вместо этого пытаются искать сложным способом число благоприятных исходов напрямую, рискуя допустить арифметическую ошибку.
• Неправильно складывают категории — если событие описывает объединение нескольких групп (например, «жёлтая или зелёная машина»), забывают сложить количества исходов и берут только одну группу.
• Ошибка при сокращении дробей — итоговая дробь должна быть переведена в десятичную запись; распространённая ошибка — оставить ответ в виде обычной дроби, хотя ответ на ЕГЭ базового уровня обычно записывается как десятичное число.
• Забывают, что вероятность не может быть больше 1 или отрицательной — если в результате вычислений получилось число вне этого диапазона, значит, была допущена ошибка в подсчёте благоприятных или общих исходов.
• Неверно понимают формулировку вопроса — путают событие «попадёт на нужный объект» с событием «не попадёт», что при недостаточно внимательном чтении приводит к вычислению вероятности противоположного события вместо искомого.

Как готовиться

Для уверенного решения этого типа задач стоит регулярно тренироваться на задачах разных формулировок: с билетами, шарами, машинами, каналами, кубиками — суть всегда одна, но условия маскируют формулу под разные сюжеты. Полезно каждый раз явно записывать, что является общим числом исходов $n$, а что — числом благоприятных исходов $m$, прежде чем подставлять числа в формулу.

Стоит отдельно отработать навык быстрого перехода к противоположному событию: если в условии сказано «известно количество объектов без нужного свойства», сразу пробовать посчитать вероятность через $1-P(\bar A)$, а не искать сложный обходной путь.

Также важно приучить себя проверять результат на здравый смысл: вероятность должна быть в пределах от 0 до 1, а её значение — соответствовать интуитивному ожиданию (например, если событие редкое, вероятность должна быть маленькой). Полезно решать задачи на сложение вероятностей нескольких категорий и проверять правильность через равенство суммы вероятностей единице — это отличный способ самоконтроля.

Наконец, рекомендуется прорешать не менее 20–30 задач этого типа из разных источников, обращая внимание на формулировки вопроса — часто именно неверное понимание того, какое событие ищут, приводит к ошибке, а не сама арифметика.