Электромагнитные колебания и волны — теория для ЕГЭ

Коротко о главном

Электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, тока и напряжения в колебательном контуре (катушка + конденсатор). Энергия в контуре переходит из электрической (в конденсаторе) в магнитную (в катушке) и обратно, суммарная энергия сохраняется при отсутствии сопротивления. Электромагнитная волна — распространяющиеся в пространстве взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, переносящие энергию без переноса вещества.

Определения и формулы/правила

Колебательный контур (LC-контур) — цепь из катушки индуктивностью $L$ и конденсатора емкостью $C$, в которой возникают свободные электромагнитные колебания.

Величина	Формула	Пояснение
Период (формула Томсона)	$T = 2\pi\sqrt{LC}$	период свободных колебаний в контуре
Циклическая частота	$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$	связана с периодом: $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$
Частота	$\nu = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$	$\nu = 1/T$
Заряд конденсатора	$q(t) = q_0\cos(\omega t)$	при отсутствии потерь
Сила тока	$i(t) = -I_0\sin(\omega t)$	$I_0 = q_0\omega$, ток опережает заряд по фазе на $\pi/2$
Напряжение на конденсаторе	$u(t) = U_0\cos(\omega t)$	$U_0 = q_0/C$
Энергия электрического поля	$W_E = \dfrac{q^2}{2C} = \dfrac{CU^2}{2}$	максимальна при $i=0$
Энергия магнитного поля	$W_M = \dfrac{Li^2}{2}$	максимальна при $q=0$
Полная энергия	$W = W_E + W_M = \dfrac{q_0^2}{2C} = \dfrac{LI_0^2}{2} = const$	сохраняется без потерь
Связь амплитуд	$I_0 = q_0\omega = U_0\sqrt{C/L}$	из закона сохранения энергии

Электромагнитная волна — поперечная волна, вектора $\vec{E}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны друг другу и направлению распространения.

Величина	Формула	Пояснение
Скорость в вакууме	$c = 3\cdot10^8$ м/с	одинакова для всех э/м волн в вакууме
Связь скорости, длины волны и частоты	$c = \lambda \nu$	$\lambda = cT$
Длина волны	$\lambda = \dfrac{c}{\nu} = cT$

Шкала электромагнитных волн (по возрастанию длины волны / убыванию частоты): гамма-излучение → рентгеновское → ультрафиолетовое → видимый свет → инфракрасное → радиоволны.

Условия возникновения и излучения электромагнитных волн:

• волны излучаются ускоренно движущимся зарядом;
• открытый колебательный контур (антенна) излучает эффективно, когда его размеры сравнимы с длиной волны.

Как применять

Пример 1. Конденсатор $C = 2$ мкФ и катушка $L = 0{,}5$ Гн образуют контур. Найти период колебаний. $$T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}5 \cdot 2\cdot10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi\cdot10^{-3} \approx 6{,}28\cdot10^{-3}\ \text{с}.$$

Пример 2. Амплитуда заряда $q_0 = 10^{-4}$ Кл, амплитуда тока $I_0 = 0{,}1$ А. Найти отношение $L/C$. Из $I_0 = q_0\omega$ и $\omega = 1/\sqrt{LC}$: $I_0 = q_0/\sqrt{LC}$, значит $\sqrt{LC} = q_0/I_0 = 10^{-3}$ с. Также из $I_0 = U_0\sqrt{C/L}$, а $U_0 = q_0/C$, можно связать $L/C$ через энергию: $\dfrac{q_0^2}{2C} = \dfrac{LI_0^2}{2} \Rightarrow \dfrac{L}{C} = \left(\dfrac{q_0}{I_0}\right)^2 = (10^{-3})^2 = 10^{-6}$ Гн/Ф$^{-1}$... то есть $\dfrac{L}{C} = 10^{-6}$.

Пример 3. Радиостанция излучает волну с частотой $\nu = 1\cdot10^6$ Гц. Найти длину волны. $$\lambda = \dfrac{c}{\nu} = \dfrac{3\cdot10^8}{1\cdot10^6} = 300\ \text{м}.$$

Типичные ошибки

• Путают формулу периода: пишут $T = 2\pi LC$ вместо $T = 2\pi\sqrt{LC}$ — обязательно корень!
• Забывают, что энергия электрического и магнитного поля максимальна не одновременно: когда одна максимальна, другая равна нулю.
• Считают, что ток и заряд в контуре колеблются в одной фазе — на самом деле сдвиг фаз $\pi/2$ (ток максимален, когда заряд равен нулю).
• Путают частоту $\nu$ и циклическую частоту $\omega$: $\omega = 2\pi\nu$, забывают множитель $2\pi$ при переходе между ними.
• Ошибаются в порядках при подстановке мкФ, мГн — нужно переводить в СИ (Фарады, Генри, секунды) перед расчётом.
• Считают, что скорость электромагнитной волны в веществе равна $c$ — на самом деле $v = c/n$, где $n$ — показатель преломления среды (в вакууме и приближённо в воздухе $v \approx c$).

Где встречается на экзамене

Тема входит в задание 13 ЕГЭ по физике (часто в блоке «Электродинамика») как расчётная задача на LC-контур: найти период, частоту, длину волны, энергию или амплитуду тока/заряда/напряжения по формуле Томсона и закону сохранения энергии. Также может встречаться в качественных заданиях на анализ графиков колебаний заряда, тока и напряжения, а также на определение фазовых соотношений между ними.