Задание 4 ОГЭ по математике: путешествия, квартиры, связь и печки

Что проверяет задание

Задание 4 проверяет умение применять школьную математику к жизненным ситуациям без сложных вычислений «в столбик» — важна логика перевода текста в формулу. Проверяются три группы навыков:

• работа с планами местности, масштабом и теоремой Пифагора (путешествия, маршруты);
• вычисление площади, периметра и стоимости по плану квартиры или участка;
• построение и применение линейной зависимости «стоимость от объёма» для тарифов связи, расхода топлива в печках, давления в шинах.

Во всех случаях от школьника ждут не доказательства, а точного числового ответа, полученного через одну-две формулы и аккуратный перевод единиц измерения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание представлено как связный текст (иногда с рисунком, планом на клетчатой бумаге или таблицей тарифов), после которого стоит конкретный вопрос: сколько минут потребуется, сколько квадратных метров нужно, сколько рублей заплатят, хватит ли деньги на разговор и т.п. Часто одна и та же ситуация используется для серии из нескольких заданий (4–7) с разными вопросами — тогда рисунок и данные повторяются, а меняется только формулировка вопроса.

За верный ответ дают 1 балл. Ответ записывается как целое число или конечная десятичная дробь, без единиц измерения и без пояснений — их не проверяют, важен только итоговый результат.

Что нужно знать

• Связь пути, скорости и времени: $S = v \cdot t$, отсюда $t = \dfrac{S}{v}$ и $v = \dfrac{S}{t}$.
• Перевод единиц: $1\text{ ч} = 60\text{ мин}$, $1\text{ км} = 1000\text{ м}$, при смене единиц скорость и время пересчитываются согласованно.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $c$ — гипотенуза, $a, b$ — катеты.
• Площадь и периметр прямоугольника: $S = a \cdot b$, $P = 2(a+b)$; площадь квадрата $S = a^2$.
• Масштаб плана: если сторона клетки равна $k$ единицам, то реальная длина отрезка в $n$ клеток равна $n \cdot k$.
• Стоимость по тарифу: $C = c_0 + c_1 \cdot x$, где $c_0$ — абонентская плата (может быть нулём), $c_1$ — цена за единицу (минуту, гигабайт, литр), $x$ — объём потребления.
• Пропорция для расхода ресурса: если известен расход на единицу времени или расстояния, то полный расход $= \text{норма} \cdot \text{количество}$.
• Правило округления в задачах «хватит ли»: если нужно закрыть весь объём (метры провода, литры топлива, минуты разговора), округление всегда идёт в бо́льшую сторону, даже если по арифметике получается нецелое число.

Методы решения

1. Метод прямого применения формулы пути. Когда маршрут состоит из прямых участков без поворотов под углом, время считается сложением: сначала находится длина каждого участка по плану, затем время на нём как $t=\frac{S}{v}$, итоги складываются.

Мини-пример: участок 6 км со скоростью 20 км/ч даёт время $t=\dfrac{6}{20}=0{,}3$ ч $=18$ мин.

2. Метод теоремы Пифагора для диагональных маршрутов. Если по плану путь идёт «напрямик» через два перпендикулярных отрезка (лесная тропа мимо шоссе с поворотом на 90°), длина такого прямого пути находится как гипотенуза, а не как сумма катетов.

Мини-пример: катеты 32 км и 24 км дают гипотенузу $\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1024+576}=\sqrt{1600}=40$ км.

3. Метод масштабирования плана квартиры или участка. Площадь комнаты или участка на плане в клетках переводится в реальные метры через масштаб, а затем считается стоимость покрытия (плитки, забора, семян) умножением площади на цену за единицу площади.

Мини-пример: комната на плане 4×3 клетки, клетка соответствует 1,5 м, значит стороны $6$ м и $4{,}5$ м, площадь $S=6\cdot4{,}5=27$ м².

4. Метод линейного тарифа для связи и коммунальных услуг. Стоимость записывается как функция от объёма потребления, подставляется нужное значение, при сравнении тарифов находят точку, где две прямые дают одинаковую стоимость.

Мини-пример: тариф $C = 200 + 3x$ рублей при 50 минутах разговора даёт $C=200+150=350$ рублей.

5. Метод пропорции для расхода топлива, шин и печек. Если задан расход на единицу (литр на 100 км, кубометр газа в час на обогрев), то нужное количество находится через пропорцию: $\dfrac{\text{расход}}{\text{единица}} = \dfrac{x}{\text{заданное количество}}$.

Мини-пример: печка расходует 2 куб. м газа в час, за 5 часов расход составит $2\cdot5=10$ куб. м.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать текст и выделить, что дано: скорости, расстояния, масштаб плана, тариф, норму расхода.
2. Понять структуру маршрута или ситуации — нарисовать схему (если её нет) или подписать данные прямо на готовом рисунке.
3. Перевести все клетки плана и обозначения в реальные единицы измерения (км, метры, минуты) с учётом заданного масштаба.
4. Определить, нужна ли теорема Пифагора (диагональный путь) или достаточно сложения прямых участков.
5. Составить формулу для итоговой величины: время, стоимость, площадь, расход.
6. Подставить числа, посчитать промежуточные значения по шагам, не смешивая единицы измерения.
7. Проверить, требуется ли округление в большую сторону («хватит ли», «сколько упаковок нужно купить»).
8. Сверить итоговый ответ с здравым смыслом: время в пределах разумного, стоимость положительна, площадь не отрицательна.

Разбор примеров

Во всех трёх примерах используется одна и та же ситуация: Полина с дедушкой едут из деревни Ясная (Я) в село Майское (М). По шоссе они едут через деревню Камышевка (К) и деревню Хомяково (Х), причём в Хомяково шоссе поворачивает под прямым углом. Есть также прямая лесная дорожка Я–М и прямая тропинка К–М, которая идёт мимо пруда; обе они образуют с шоссе прямоугольные треугольники. Скорость по шоссе — 20 км/ч, по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. По данным плана участки шоссе равны: ЯК $=22$ км, КХ $=10$ км, ХМ $=24$ км, причём ХМ перпендикулярен прямой ЯХ.

Пример 1. Сколько минут займёт путь по шоссе через Камышевку и Хомяково?

Шаг 1. Весь путь по шоссе состоит из трёх прямых участков: ЯК, КХ и ХМ, все проезжаются со скоростью 20 км/ч.

Шаг 2. Складываем длины участков: $22+10+24=56$ км.

Шаг 3. Находим время в часах: $t=\dfrac{56}{20}=2{,}8$ ч.

Шаг 4. Переводим в минуты: $2{,}8\cdot60=168$ мин.

Ответ: 168.

Пример 2. Сколько минут займёт путь по прямой лесной дорожке?

Шаг 1. Лесная дорожка — это гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого служат отрезок ЯХ (сумма ЯК и КХ) и отрезок ХМ.

Шаг 2. Находим катет ЯХ: $22+10=32$ км. Второй катет ХМ $=24$ км.

Шаг 3. По теореме Пифагора находим длину дорожки: $\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1024+576}=\sqrt{1600}=40$ км.

Шаг 4. Скорость на этом участке — 15 км/ч, значит время в часах: $t=\dfrac{40}{15}=\dfrac{8}{3}$ ч.

Шаг 5. Переводим в минуты: $\dfrac{8}{3}\cdot60=160$ мин.

Ответ: 160.

Пример 3. Сколько минут займёт путь, если в Камышевке свернуть на тропинку к Майскому?

Шаг 1. Маршрут состоит из двух частей: участок ЯК по шоссе (скорость 20 км/ч) и тропинка КМ (скорость 15 км/ч).

Шаг 2. Время на участке ЯК: $t_1=\dfrac{22}{20}=1{,}1$ ч, что равно $1{,}1\cdot60=66$ мин.

Шаг 3. Тропинка КМ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами КХ $=10$ км и ХМ $=24$ км: $\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$ км.

Шаг 4. Время на тропинке: $t_2=\dfrac{26}{15}$ ч $=\dfrac{26}{15}\cdot60=104$ мин.

Шаг 5. Складываем время обеих частей: $66+104=170$ мин.

Ответ: 170.

Эти три примера показывают главный приём задания: один и тот же план даёт разные ответы в зависимости от того, какой путь и какая теорема (сложение отрезков или Пифагор) применяются к конкретному вопросу.

Типичные ошибки и ловушки

• Складывание катетов вместо вычисления гипотенузы там, где путь идёт «напрямик» через два перпендикулярных отрезка.
• Использование гипотенузы там, где на самом деле нужно сложить длины прямых участков (например, если весь путь идёт по шоссе с поворотом, а не «по диагонали»).
• Забытый перевод часов в минуты или наоборот — большинство ответов в разделе «путешествия» требуют минут, а расчёт скорость–время даётся в часах.
• Неверное считывание масштаба плана: перепутана сторона клетки (например, взято значение в метрах вместо километров).
• Ошибки в тарифах связи: абонентская плата забыта или прибавлена там, где её не должно быть, либо цена за минуту применена ко всему объёму, включая бесплатный лимит.
• Округление не в ту сторону: для вопросов «хватит ли» всегда округляют вверх, даже если по расчёту получается число вроде 4,2 — нужно 5 единиц, а не 4.
• Путаница между площадью и периметром при задачах на квартиры и участки: за площадь пола умножают стороны, за периметр — складывают и умножают на два, эти формулы легко перепутать при спешке.

Как готовиться

1. Разобрать по отдельности все три сюжета — путешествия, квартиры/участки, тарифы и расход ресурсов — и выписать для каждого свой набор формул на одну карточку.
2. Тренироваться читать план на клетках: сразу подписывать длины отрезков в реальных единицах, не держа масштаб «в уме».
3. На каждой задаче с диагональным путём сначала рисовать прямоугольный треугольник отдельно от общей схемы и подписывать катеты — это снижает риск спутать Пифагора со сложением.
4. Решать задачи серией (когда один рисунок используется для нескольких вопросов подряд) — это отрабатывает скорость переключения между разными формулами без потери данных.
5. Проверять на каждой задаче единицы измерения в ответе: минуты, рубли, квадратные метры — и сверять их с тем, что просит вопрос.
6. Регулярно решать задачи на тарифы связи и расход топлива с разными числами — они основаны на одной и той же линейной модели, и после десяти-пятнадцати задач схема запоминается автоматически.